小行列式

数学の線型代数学において、行列の小行列式（しょうぎょうれつしき、）とは、から1列以上の行または列を除いて得られる小さい正方行列の行列式のことである。

正方行列から行と列をただ1つずつ取り除いて得られる小行列式（first minors; 第一小行列式）は行列の余因子 (cofactor) を計算するのに必要で、これは正方行列の行列式や逆行列の計算に有用である。

定義と説明小行列式正方行列の小行列式 (minor, first minorBurnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.) とは、第行と第列を除いて得られる小行列の行列式のことである。この数はしばしばと書かれる。余因子 (cofactor) とは、小行列式にを掛けて得られる値のことである。

例えば、次の 3次正方行列を考える：

小行列式と余因子を計算するため、上の行列から第2行と第3列を除いた小行列の行列式を求める。

したがって余因子は

一般の定義行列に対して、正の整数がを満たすとき、次小行列式 (minor determinant of order )とは、の個の行から選んだ個の行に属し、個の列から選んだ個の列にも属する成分からなる次小正方行列の行列式のことである。このことは、から個の行と個の列を除いて得られる次小正方行列の行列式ということもできる。

行列の小行列（式）の作られ方は、全部で個ある。

零次の小行列式 (Minor of order zero) はしばしばと定義される（空積も参照のこと）。

対照的に、正方行列に対する第零小行列式 (zeroth minor) とは、単にその行列の行列式のことを言うElementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1Minor. Encyclopedia of Mathematics. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176。

元々のの行・列を具体的に指定して表記するには、に対して、それらをそれぞれと呼ぶことにすると、これらの添え字から得られる小行列式は

などと書かれる（は添え字の列を表す）。注意しないといけないのは、文献・著者によって全く逆の2種類の意味を指すことがあることである。著者Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9によっては、のどちらにも属している成分から作られる行列の行列式を意味し、著者によっては、に対応する行・列を除いて得られる行列の行列式を意味する。この記事では前者（の行との列から元を選ぶ）の方の定義を用いる。例外的な場合は小行列式の場合である；この場合、取り除く方の表記がどの文献でも標準的であり、この記事においても用いる。

補小行列式正方行列の小行列式の補小行列式とは、から第行と第列を除いて得られる小行列の行列式のことである。例えば、小行列式の補小行列式は単に成分であるBertha Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, p. 135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.。

小行列式と余因子の応用行列式の余因子展開

余因子により、行列式を余因子の線形結合で表すことができる（余因子展開）。これにより、行列式は次数が小さい行列式から計算できる。任意の次正方行列の行列式は、行列の任意の行か列の余因子にそこの成分を掛けたものの総和に等しくなる。つまり、第列に沿った余因子展開は

であり、第行に沿った余因子展開は

である。

余因子行列と逆行列

余因子により、正則行列の逆行列の成分を書き下すことができる。正方行列の全ての余因子を成分とする正方行列の転置行列は余因子行列 (adjungate matrix) あるいは古典随伴行列 (classicical adjoint matrix) と呼ばれ、やで表す：

の余因子展開より、次の式が成り立つ：

特に、, つまりが正則のとき、の逆行列は余因子行列にの行列式の逆数を掛けたものである：

上の公式は次のように一般化できる：

次正方行列に対して、個ずつの添え字集合（小さい順とする）をただしただしとすると

ここで、はそれぞれの全体集合における補集合を表す。

また、は、の小行列で行の添え字がで列の添え字がであるものの行列式を表す。つまり、である。

単純な証明はウェッジ積を用いて与えることができる。実際、

である。ただしは基底ベクトルである。を両辺に作用させると

符号はであることが計算できる。（証明終）

他の応用体（例えば、実数体、複素数体）の元を成分とする行列に対して、でない小行列式の最大次数は行列の階数に等しい（つまり、でない次小行列式が少なくとも1つ存在し、それより大きい次数の小行列式は全てである）。

記号は上の通りとする．のとき、は主小行列式 (principal minor) と呼ばれる。主小行列式に対応する行列がもとの行列の左上の正方形の部分である（すなわち行・列の番号がそれぞれ）とき、主小行列式は首座小行列式 (leading principal minor (of order k), corner (principal) minor (of order k)) と呼ばれる。次正方行列に対しては、個の首座小行列式が存在する。行列の基本小行列式とは、でない小行列式で次数が最大のもののことである。エルミート行列に対して、首座小行列式は正定値性の判定に使うことができ、主小行列式は半正定値性の判定に使うことができる。詳細はを参照。

コーシー・ビネの公式は、行列と行列の積の行列式について成り立つ等式であるが、これを次の一般的な主張に拡張することができる：

行列，行列に対して、を個の元からなるの部分集合とし、を個の元からなるの部分集合とする。このとき

が成り立つ。ただし、総和の添え字は個の元を持つの部分集合全体を走る。この公式はコーシー・ビネの公式の直截的拡張である．

多重線型代数アプローチよりシステマティックには、小行列式の概念の代数学的な扱いはウェッジ積を用いて多重線型代数において与えられる：行列の次小行列式は次外冪写像の成分である。

行列の列が一度に回一緒にウェッジされると、次小行列式は得られる次元ベクトルの成分として現れる。例えば、行列

の次小行列式は（最初の2行から）、（最初と最後の行から）、（最後の2行から）である。さてウェッジ積

を考えよう。ただし2つの式は我々の行列の2つの行に対応する。ウェッジ積の性質を用いて、すなわち双線型性と

と

を用いて、この数式はとなる。ここで係数は先に計算した小行列式と一致する。

異なる表記についての注意文献や著者によっては、余因子行列 (adjugate matrix) の代わりに "cofactor matrix" が使われている。この表記では、逆行列は次のように書かれる：

注釈

参照

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