この記事は、数学の中で、特別な名前を冠する関数の各記事を参照する一覧である。
初等関数 ジョゼフ・リウヴィルは初等関数を次のように定義した。多項式を第 0 級初等関数、指数関数 と対数関数 を第 1 級初等関数とし、両者をあわせて「高々第 1 級初等関数」と呼ぶ。以下、関数の合成を行うことで、高々第 級初等関数を帰納的に構成できる。高々第 級初等関数であって、高々第 級初等関数でないものを、第 級初等関数と呼ぶ。
多項式関数: 多項式は不定元のべきの定数倍と、それらの和のみからなり、不定元への値の代入が関数を定める。べき関数とも呼ばれる。多項式の次数 により「 次関数」とも呼ばれる。 一次関数 二次関数 三次関数 有理関数: 多項式の商で与えられる関数。分数関数、代数関数とも。 平方根: 二乗すると与えられた数になるような数を返す関数。 立方根: 三乗すると与えられた数になるような数を返す関数。 指数関数: ある定数の冪乗。特に、自然対数の底 の冪乗を扱うことが多い。 対数関数: 指数関数の逆関数であり、指数を含む方程式を解くのに用いられる。 三角関数: 正弦関数 ()、余弦関数 ()、正接関数 () など。 逆三角関数: 三角関数の逆関数。アークサイン、アークコサイン、アークタンジェントなど。計算機科学では2つの引数をとるAtan2も多用される。 双曲線関数: 双曲正弦関数 ()、双曲余弦関数 () など。三角関数に類似した関係式を持つ。 逆双曲線関数: 双曲線関数の逆関数。 グーデルマン関数: 双曲線関数と逆三角関数の合成関数。
整数論的関数 主に整数論で用いられる関数の一覧。
約数関数: 与えられた自然数の約数の 乗和を返す関数。 σ関数: 約数関数のうち、約数の総和（1乗和）を返すもの。 オイラーのφ関数: 与えられた自然数以下で、その自然数と互いに素な自然数の個数。 分割関数: 与えられた正整数を正整数の和で書き表す方法が、順序を除いて何通りあるかというパターン数を与える関数。 メビウス関数: が平方因子を持つ数ならば 、 が相異なる偶数個の素数の積ならば 、 が相異なる奇数個の素数の積ならば と定義される関数。 フォン・マンゴルト関数: 数が素数の冪であるときのみ値を持ち、素数分布の解析に用いられる。 ラマヌジャン和: と互いに素な剰余類に対する冪乗和。 ゼータ関数荒川恒男, 伊吹山知義, & 金子昌信. (2001). ベルヌーイ数とゼータ関数. 牧野書店.およびその類似物であるL関数: これらの関数と素数の間には深い関係があることが知られている。リーマン予想を仮定すると、素数計数関数（与えられた数以下の素数の個数、しばしば と記す）の精度の高い近似式が得られる。ディリクレ級数の一種でもある。
組合せ論的関数 集合の数え上げや組合せ数学で用いられる関数。 階乗: 。異なる 個のものを並べる順列の数。 二項係数: 個から 個選ぶ組合せの数。パスカルの三角形を構成する。 ベル数: 集合を分割する方法の総数。 カタラン数: 多角形の対角線による分割や、二分木の数などに現れる。 スターリング数: 集合の分割や、べき乗を降べきに変換する際に現れる。
多項式に関連する特殊関数 特定の微分方程式の解や、特定の重み関数に関する直交多項式。 ルジャンドル多項式: 球座標系におけるラプラス方程式の解に関連する。 チェビシェフ多項式: 近似理論において誤差を最小化する性質を持つ。 エルミート多項式: 量子力学における調和振動子の解に現れる。 ラゲール多項式: 水素原子の波動関数に関連する。 ベルヌーイ多項式: ベルヌーイ数の一般化。等べき和の公式（ファウルハーバーの公式）に現れる。
その他の特殊関数
固有の名前がついた関数を特殊関数というが、ここでは他の分類に収まらないものの一覧を挙げる。
絶対値: 与えられた数の符号を取り払った大きさを表す関数。 床関数: 与えられた実数を超えない最大の整数を返す関数。 天井関数: 与えられた実数を下回らない最小の整数を返す関数。 ガンマ関数: 階乗の概念を実数・複素数全体に対して一般化したもの。 楕円積分: 楕円の周の長さを求める問題から生じた積分。多くの応用において重要である。 楕円関数梅村浩. (2000). 楕円関数論: 楕円曲線の解析学, 東京大学出版会.戸田盛和. (2001). 楕円関数入門, 日本評論社.: 楕円積分の逆関数。二重周期を持つ現象のモデル化に用いられる。 指数積分: 指数関数を含む積分によって定義される関数。 ベッセル関数Watson, G. N. (1995). A treatise on the theory of Bessel functions. Cambridge University Press.平野鉄太郎. (1963). ベッセル関数入門, 日新出版.: 微分方程式により定義される関数。 に確定特異点を持つ。天文学、電磁気学、工学などで広く用いられる。 超幾何関数: 多くの特殊関数を特殊なパラメータ値として包含する広範なクラス。 対数積分: の不定積分。素数定理において重要である。 ランベルトのW関数: の逆関数。 誤差関数: 正規分布の積分に関連する関数。 ベータ関数: ガンマ関数を用いて表現できる特殊関数。 アッカーマン関数: 計算理論において、原始帰納的でない帰納的関数として知られる。 クヌースの矢印表記: 巨大数の表示に利用される表記法。アッカーマン関数の値の表現などに用いられる。 ヘヴィサイドの階段関数: 負の値に対し 、正の値に対し を対応させる不連続関数。 ディリクレの関数: が有理数であれば 、無理数であれば を返す関数。リーマン積分不可能だがルベーグ積分は可能な例として知られる。 多重対数関数: 対数関数の一般化Lewin, L. (1991). Structural properties of polylogarithms (No. 37). American Mathematical Soc..。 ポリガンマ関数: ガンマ関数の対数微分の一般化。ディガンマ関数など。 誤差関数 (): 正規分布の積分に関連し、統計学や拡散現象の解析に必須。 相補誤差関数 (): 。 指数積分: 。指数関数を含む積分。 正弦積分・余弦積分: 三角関数を含む積分。 フレネル積分: 光の回折現象（フレネル回折）の解析に現れる。 エアリー関数: 転換点を持つ微分方程式の解。光学や量子力学のWKB近似で現れる。 ポリ対数関数 (): 対数関数の一般化。 ミッタク＝レフラー関数: 指数関数の一般化。分数階微分方程式の解に現れる。
集合論・論理学的な関数 指示関数（特性関数）: 集合の要素であるかどうかに応じて 1 または 0 を返す関数。 空関数: 定義域が空集合である関数。 恒等関数: 入力をそのまま出力として返す関数。 選択関数: 集合の族からそれぞれの要素を一つずつ選ぶ関数。 符号関数 (): 実数の符号（+1, 0, -1）を返す関数。 再帰関数: 自分自身を定義に用いる関数。
超関数 ディラックのデルタ関数: 以外の点では であり、全区間での積分値が となるような超関数。 緩増加超関数: シュワルツ空間上の線形連続汎関数。フーリエ変換が可能。
ウェーブレット・信号処理 Sinc関数: 。通信工学において帯域制限フィルタのインパルス応答として現れる。 窓関数: 信号の切り出しに用いられる。ハミング窓、ハニング窓など。 マザーウェーブレット: ウェーブレット変形の基礎となる関数。
関数のクラス 固有の名前がついた特定の関数ではなく、特定の性質を持つ関数の集合（クラス）の一覧。 一方向性関数: 計算は容易だが、逆関数の計算が非常に困難である関数。暗号理論で用いられる。 行列値関数: 行列を変数に持つ関数、あるいは値が行列である関数Higham, N. J. (2008). Functions of matrices: theory and computation. SIAM.。行列指数関数、行列の対数、行列の平方根など。 グリーン関数: 微分方程式（波動方程式など）を解くために用いられる積分核松浦武信, 吉田正廣, & 小泉義晴. (2003). 物理・工学のためのグリーン関数入門.。 : 互いに素な引数の積に対して、値が和となる性質を持つ整数論的関数。 解析関数: 局所的に収束するべき級数によって定義される関数Ahlfors, L. V. (1966). Complex analysis. New York: McGraw-Hill.。 滑らかな関数: 無限回微分可能な関数（級関数）。 整関数: 複素平面全体で正則な複素関数。 偶関数: が成り立つ関数。 奇関数: が成り立つ関数。 逆関数: 写像 に対し、 を と逆に対応付ける関数。 正則関数: 領域内のすべての点で複素微分可能な関数。 全射・単射・全単射: 定義域と値域の元の対応関係による分類。全単射な関数は逆関数を持つ。 双正則関数: 全単射であり、自身もその逆関数も正則である複素関数。 単調関数: 順序関係を保存（または反転）する関数。 連続関数: 定義域内の各点で値が急激に変化しない（極限が一致する）関数。 周期関数: 一定の間隔（周期）ごとに同じ値を繰り返す関数。 凸関数: 関数上の任意の2点を結ぶ線分が、常にグラフの上側にある関数。 調和関数: ラプラス方程式を満足する関数。 下半連続・上半連続関数: 連続性を弱めた概念で、極限が不等式で抑えられる関数。 可積分関数: 積分（ルベーグ積分など）が確定する関数。Lp空間などに分類される。 可測関数: 原像が可測集合となるような関数。測度論およびルベーグ積分の枠組みにおいて基礎となる。 急減少関数（シュワルツ関数）: 無限遠でどの多項式よりも速く減衰する滑らかな関数。 隆起関数: コンパクトな台を持つ滑らかな関数。 有界変動関数: グラフの振幅の総和が有限である関数。 リプシッツ連続関数: 2点間の値の変化量が距離の定数倍（リプシッツ定数）で抑えられる関数。 超幾何関数: 超幾何微分方程式の解として定義される広範な特殊関数のクラス。
関連項目 周期関数の一覧 原始関数の一覧
脚注