平面曲線

初等幾何学における平面曲線（へいめんきょくせん、）は、その像がひとつの平面（特にユークリッド平面、、射影平面など）に全く含まれるような曲線を言う。例えばユークリッド平面曲線は連続写像によって同定することができる。ここには実数直線内の区間である。

特に、より大きい次元のユークリッド空間に含まれる曲線が平面的 (planar) であるとは、曲線の定義空間に全く含まれる適当な平面が存在して、その曲線の像がその平面に全く含まれるときに言う。平面的でない空間曲線はという。

平面曲線が単純とは、それが自己交叉を持たないこと、すなわちとなるときに言う。

もっともよく調べられる平面曲線は、微分幾何学において調べられる可微分な場合（滑らかな曲線、区分的に滑らかな曲線）や代数幾何学において調べられる曲線の陰伏方程式が多項式で与えられる場合（代数曲線）である。代数曲線は18世紀以降広汎に研究されてきた。

表現陽表式平面曲線を表す方法の一つは、各に対応するの値を与える方程式を用いるもので、そのように与えられる -平面上の点がその平面曲線上の点を表すように方程式を与えることである。この種の曲線は、実函数のグラフとして曲線のグラフを与えることでも記述できる。実際、この表現法はひとつの独立変数に関する写像としても書くことができる。しかしこの方法は幾何学的には様々な制約があり、この形で表すには複雑すぎる曲線というものが極めて頻繁にあらわれるから、そのような場合にこの形で幾何学的性質を調べることは向かない。陰伏式平面曲線はまた二変数の函数を用いての形に表すこともできる。このような表現は、ある種の観点からは陽な表現よりも適していることもあるが、二つの変数の間の関係性が分かりにくくなる（関係を陽に表すことができても複雑すぎたり、そもそも不可能である場合もある）という問題に遭遇することにもなる。媒介変数表示もっとも紛れがないという意味では、媒介変数を用いるのような表示をかんがえるのがよい。

可微分平面曲線滑らかな平面曲線、すなわち望ましい正則性条件を満足する一次元のひものような対象としての曲線（「局所的に直線に見える」平面曲線）を表し研究するためには、連続性条件は十分ではない。追加の条件として平面曲線は上とする。媒介表示された平面曲線が微分可能であるとは、二つの函数がともに任意のにおいて微分可能であることを言う。滑らかな平面曲線は平面に含まれる一次元の滑らかな多様体であり、この意味で各点の近傍において滑らかな函数によって直線に写される。

正則性と特異点媒介表示された平面曲線が点において正則もしくは正常 (regular) である、または点がこの曲線上のであるとは、なることを言い、区間上で正常とは上の任意のにおいてとなることを言う。

を満たす点はこの曲線のと呼ぶ。

曲線の正則性は、その曲線の接線の定義を可能にする。可微分曲線の正則点における接線は、点を通り、ベクトルに平行な直線を言う。すなわち、点の周りで接線上の点は方程式を満足し、また媒介変数を用いればはとしても表される。曲線が方程式によって陽に与えられているならば、その点における接線はなる関係によって与えられる。また、曲線が陰伏方程式によって与えられているならば接線はなる関係を満たす。ただし、はそれぞれのによる偏微分をそれぞれにおいて評価した値である。

曲線の正則性は、その曲線の点における法線も定義可能にし、法線の方程式がで与えられる。接線の場合と同様に陽表示: ; 陰表示: の陽にも書ける。

微分の定義により、は幾何学的には曲線の接線の傾きを表しており、右辺において正弦が引数にとる角は接線が -軸の正の半直線となす角である。この関係式をと展開すれば、これにより曲線の接線のと呼ばれる量が得られる。

曲線の長さ

上の可微分曲線と区間に対し、曲線のからまでのとはで与えられる

弧長は媒介変数の取り換えに関して不変である。すなわち、を媒介変数の取り換えとすれば、が成り立つ。

曲線がと陽に与えられれば、かつとなるから、弧長をと書くことができる。

媒介変数の取り方として数学および幾何学的研究および応用において重要と考えられるものの一つに、平面極座標が挙げられる。曲線の極座標表示がで与えられれば、直交座標系におけるに関する媒介変数表示はで与えられ、これらの微分はとなるから、さらに弧長はと書ける。

曲線座標曲線上の座標系または弧長変数（弧長パラメータ）とは、特別な種類の媒介変数表示で、積分の下の限界を固定し上の限界を変数と見るとき、積分が上の限界のみに依存して決まるものを言う。この積分函数は幾何学的には、固定された点から測った（必要ならば符号付きで考えた）弧長である。これにより常に曲線上にはこの曲線座標系に基づく座標を入れることが可能となる（弧長変数による媒介表示）。実際、ゆえは逆を持ち、それをと書けば、弧長変数への媒介変数の取り換えを得る。この場合、曲線上の一点における接線を決定することは、単位接ベクトルに平行となる直線をとることに等しい。すなわちゆえ、接ベクトルは単位ベクトルである。

曲線上の微分幾何

弧長変数で媒介表示された曲線に対し、はその単位接ベクトルである。さらに函数はこの曲線の曲率と呼ばれる。曲線が陽表示を持てば曲率もと陽に計算できる。陰伏表示の場合はとなる。

空間内の（十分正則な）曲線はその任意の点において、フレネ標構と呼ばれる「接ベクトル」「法ベクトル」「陪法ベクトル」の三つ組からなる参照系を持つが、このような曲線が平面的となるための必要十分条件はその陪法ベクトルが常に零となることである。

弧長表示に対して単位接ベクトルおよび単位法ベクトルは直ちに求められる（ただしは虚数単位）。曲率を用いれば単位法ベクトルをと与えることもできる。はに直交し、に平行である。

これらをまとめると「平面曲線に関するフレネの公式」および曲率は、任意の媒介表示曲線に対してと与えられる。

平面代数曲線平面代数曲線は、アフィン平面内の曲線で多項式方程式によって定義されるもの、または射影平面内の曲線で斉次多項式方程式で定義されるものを言う。

任意の平面代数曲線は、その定義多項式の次数をその曲線の次数として持つ。代数閉体上で考える場合には、曲線の次数はそれがにある直線と交わるときの交点数に等しい。例えば、方程式で与えられる円の次数はである。

次数の非特異平面代数曲線は円錐曲線であり、それらのは全て円の射影完備化（つまり ) の定める射影曲線）に同型である。次数の平面代数曲線はといい、それが非特異ならば楕円曲線となる。次数の平面代数曲線はと呼ぶ。

注釈

参考文献

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