差集合

とは、ある集合の中から別の集合に属する要素を取り去って得られる集合のことである。特に、全体集合を固定して、からその部分集合の要素を取り去って得られる集合をの補集合という。

定義

集合から集合に属する元を間引いて得られる集合を

またはと表現し、からを引いた差、差集合あるいはにおけるの（相対）補集合と呼ぶ。記号を用いて書けば、

すなわち

が差集合の定義である。これはとは限らない場合にも定義される。後述の（絶対）補集合の言葉で書けば、とは、におけるの補集合である。なお、一般に集合の差は交換法則を満たさない：

これらが等しくなるのは、のとき、またそのときに限る。

注意集合 , が加法「＋」を持つ代数系（特に加法群）の部分集合であるとき、は集合と紛らわしいので、この記法を使用する場合は注意が必要である。

また、LaTeXで入力するとき、差集合としては B \backslash A () ではなく B \setminus A () を用いるか、B \smallsetminus A () を用いる。

例 = 　(10 以下の奇数の集合) = 　(10 以下の素数の集合)

このとき

であり、

である。

補集合

全体集合や普遍集合などと呼ばれる（大きな）集合を固定して、その部分集合についてのみ考えているとき（例えば、が自然数全体、実数全体やある位相空間であるときなど）の部分集合について、

をの（絶対）といい、が了解されている文脈では単に

のように表す。

ある集合の補集合の補集合は、もとの集合自身である。自然数について考えているとき、奇数全体の集合の補集合は偶数全体の集合である。実数全体について考えているとき、有理数全体の補集合は無理数全体である。

注意の補集合をで表す場合、おおくはがの閉包（closure）を表す。逆に、が補集合を表しているような文脈では、での閉包を記すことがある。

ド・モルガンの法則 , をある集合の部分集合とするとき、

が成り立つことが分かる丹下基生『SGCライブラリ-163　例題形式で探求する集合・位相(連続写像の織りなすトポロジーの世界)』サイエンス社、2020年、p.6。これはもっと一般化できて、をある基礎となる集合の部分集合の族とするときに、

が成り立つ。これらをド・モルガンの法則という。

この法則は、対応する論理記号の性質（特に双対性）を反映したものである。詳しくは記号論理学の項目を参照。

Źródło i licencja