数学において、q二項定理（）は二項定理のq-類似であるWolfram Mathworld: q-Binomial Theorem。超幾何級数 の和は通常の二項定理
で与えられる。これに倣い、q超幾何級数の和を与える公式
をq二項定理と呼ぶ。ただし、はポッホハマー記号、はqポッホハマー記号である。
証明 右辺をとして関数方程式を導く。
これにより、左辺を得る。
別証明 左辺をとして関数方程式を導く。
をテイラー級数に展開しての係数を比較すると
となり、であるから
となる。これにより、右辺を得る。
コーシーの二項定理 コーシーの二項定理はq二項定理の特殊な場合であるWolfram Mathworld: Cauchy Binomial Theorem。
ただし、
はq二項係数である。q二項定理にを代入すると
となるが、左辺はでとなり、右辺はの分子がの分母を打ち消す。従って、
である。左辺はqポッホハマー記号の変換式により、
となる。
出典