ブラ-ケット記法

ブラ-ケット記法（ブラ-ケットきほう、）またはディラックの記法（ディラックのきほう、）は、量子力学における量子状態を記述するための標準的な記法である。

ブラケット（）という呼称は、内積 を括弧（）に見立て、その左半分をブラ（） 、右半分をケット（） と呼んだことに由来する。量子状態はヒルベルト空間のベクトルであるケットで表され、ブラはケットの空間の双対空間に属するベクトル（ケットに複素数を対応させる線型汎関数）である。

ブラケット記法は1939年のポール・ディラックの論文で提案された。ディラックの教科書 では1947年の第3版からブラケット記法を採用している。

ブラ・ケット ケット は量子状態を表す複素ヒルベルト空間の元である。ブラ はケット のなすベクトル空間の双対空間の元として定義され、ブラをケットに作用させた値が内積 である。この内積は を満たす。ヒルベルト空間では、リースの表現定理により、ケット にブラ を対応させる反線型な1対1対応が存在する。

ケットをケットへ写す線型な関数（線型作用素）を で表し、ケットに対する適用を と表す。ブラケット記法において、以下の関係を満たすブラへの作用素は、ケットに対する作用素と同じ記号で表される。

通常、上記の等式の両辺は括弧を外して と表される。 また特に任意のケット に作用してケット を与える作用素は と表される。また同様のブラに対する作用素も同じ記号で と表される。

性質 初学者向けの説明として、ケットは列ベクトル、ブラは行ベクトルに対応させる場合がある（行列表示を参照）。このとき、ブラはケットの複素共役をとった転置（エルミート共役）に当たる。

ブラの随伴はケット、ケットの随伴はブラである。

作用素についても、次の関係が成り立つ。

また、規格化された（）状態 において、観測可能量を表すエルミート作用素 の期待値は、ブラ とケット の内積 として表される。規格化されていない場合は となる。

利点

この記法の利点として 基底に依存しない記述が可能 固有値が離散、連続どちらの場合も統一的に扱える 中身の書き方を自由に工夫して記述できる（パラメータだけを並べて としたり、 と書くこともできる） などがある。

無限次元での取り扱い ディラックの説明によればケット の空間においてブラ は線形汎関数を表す、すなわちブラは双対空間に属しており、無限次元の場合ブラの空間はケットの空間より広い場合がある。しかし、ブラの空間にはケットの空間と同型の部分空間が必ず存在し、ケットの内積は常に定義できる。量子力学においては、ケットもブラも量子状態を過不足なく表すもので、ケットに対応しないブラには物理的意味がないので、ブラの空間としてはケットの空間と同型のものしか考えない。

正規直交基底とブラケット記法 正規直交基底のうち2つのラベルを として、内積をブラ-ケット記法で表すと、離散基底ではクロネッカーのデルタを用いて

連続基底ではデルタ関数を用いて

となる。

また正規直交基底の完全性は離散基底について、

連続基底について、

と表現される。ただし連続基底の場合の記述は数学的に逸脱があり、本来ヒルベルト空間の元として存在しない「固有ベクトル」 があるかのように書いている（量子力学の数学的定式化#スペクトル分解と観測も参照）。

第二量子化とブラケット記法

第二量子化された粒子生成演算子 を用いて2粒子状態を

と定義する。この時 がフェルミ粒子を表す演算子なら、これらは反交換関係 を満たすので、

となり、反対称化されている。

また がボース粒子を表す演算子であれば、これらは交換関係 を満たすので、

となり、対称化されている。

波動関数との関係 ケット と、（位置表示の）波動関数 の関係は以下のように表される。

ただし、位置を表す演算子 の固有値を 、対応する固有ケットを とする；。

出典

注釈

参考文献

関連項目 量子力学の数学的定式化#ブラベクトルとケットベクトル