チェビシェフの和の不等式

チェビシェフの和の不等式（チェビシェフのわのふとうしき、）は、パフヌティ・チェビシェフの名にちなんだ不等式である。

2つの数列 {ak}, {bk} が共に単調減少（あるいは共に単調増加）であるとき、すなわち

であるとき、以下の不等式が成り立つ。

この不等式は、「共に単調な2つの数列において、平均の積は、各項の積の平均以下である」ことを示している。

一方が単調減少列で他方が単調増加列、すなわち

である場合は、不等号の向きが逆転し、以下の不等式が成り立つ。

証明

直接的な証明 次の二重和を考える。

2つの数列は共に単調であるため、任意の について と は同じ符号（または共に 0）になる。したがって、その積は常に 0 以上であり、 が成り立つ。

この括弧を展開すると次が得られる。

これを整理して両辺を で割れば、目的の不等式が導かれる。

並べ替え不等式を用いた証明 チェビシェフの和の不等式の別の証明方法として、並べ替え不等式 を利用するものがある。まず

を仮定する。並べ替え不等式により、

は2つの数列のあらゆる並べ替えに関する積和について最大値を与える。これを利用して巡回置換を考えると、

これら 個の式の両辺の総和を取ると

となり、両辺を で割ることで不等式が得られる。

連続バージョン チェビシェフの和の不等式には、連続バージョンも存在する。

および を区間 で積分可能な実数値関数とし、共に単調増加または共に単調減少であると仮定する。このとき、以下の不等式が成り立つ。

一方が単調増加で他方が単調減少である場合は、離散の場合と同様に不等号の向きが逆転する。 この不等式は任意の空間における積分に一般化することが可能である。

参考文献

関連項目 並べ替え不等式 ハーディ＝リトルウッドの不等式