数学において、ルジャンドルの関係式(Legendre relation)は第一種完全楕円積分と第二種完全楕円積分の間に成立する恒等式である。

証明 完全楕円積分の導関数

から、微分方程式

が得られるが、ここでとすれば

であるからも同じ微分方程式の解になる。とすれば

となり、も同様である。故に

であるから

が成立する。積分して整理すると

となり、これに

を代入すると

が得られる。不完全楕円積分の極限を用いて

が得られる。

出典 Wolfram MathWorld: Legendre Relation