類関数

数学の群論における類関数（るいかんすう、）は、群上で定義される関数であって、共軛類上では定数となるもののことをいう。複素数値の類函数はコンパクト群の表現論で重要である。自乗可積分な複素数値類函数は（例えば有限離散群の群環や位相群の群環）の中心元として現れるため、中心函数 (central function) とも呼ばれる。

が位相群のとき、一般に類函数としては可測あるいはさらに連続であるものに限って言う。

定義群上の函数が中心的あるいは類函数であるとは、の任意の元に対して

が成り立つときに言う。あるいは同じことだが、自然な全単射を考えれば、任意のに対して

を満たすということもできる。

性質可換体に対し、群は（からへの写像全体の成す）配置集合に

で、自然に作用する。上の -値類函数はこの表現の不動点であり、従ってその全体はベクトル空間の部分線型空間を成す。

上の -値類函数の成すベクトル空間は、の共軛類全体の成す集合をとすれば、に自然に同型である。

例アーベル群上の任意の函数は中心的である。実際、アーベル群の共軛類は全て単元集合である。もう少し自明でない類函数の例は、アーベル群に値をとる群準同型によって与えられる。他に類函数の例として、ねじれ群から自然数半群への、群の各元にその位数を割り当てる写像が挙げられる。

コンパクト群のヒルベルト環

をコンパクト群として、その上のハール測度を平行移動不変な唯一の確率測度として定義する。は上の自乗 -可積分函数全体の成すヒルベルト空間とすれば、この空間上に以下の二つの演算を入れることができる: 結合的、分配的で定数函数を単位元とする畳み込み積

対合

これらによりは対合バナハ環となり、さらにを成す。この環に関する研究はの連続表現に関係する（を参照）。

この関係性はの中心を通じて示される。実際、直接計算により可測函数が自乗可積分ならば

であり、また函数がの中心に入る必要十分条件は、任意のに対して二つの畳み込みとが殆ど至る所一致することだが、これらは連続ゆえ至る所一致する。したがってこれはの任意のに対してと同値である。

の中心は、上の自乗可積分かつ中心的な可測函数（の類）全体の成す閉部分空間である。

コンパクト群の指標コンパクト群上の有限次元とは、有限次元複素ベクトル空間に対して、連続写像のことを言う。は

で定義される類函数である。同値な二つの表現は同じ指標を持つ。

連続既約表現に付随する指標を既約指標と呼ぶ。任意の既約指標はに属し、互いに同値でない既約指標は互いに直交する。また既約指標の全体はのヒルベルト基底を成す。

有限群に対しては、既約表現の数はの共軛類の数に等しい。

参考文献

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