ハイネ・カントールの定理（）とは、次のような定理である。
M をコンパクトな距離空間、N を距離空間とする。このとき、任意の連続関数 f : M → N は一様連続である。
微分積分学における言明 微分積分学では次のように表現される。
定理 有界閉区間 I 上の連続関数 f : I → R は一様連続である。
証明 実数 を任意に取る。連続性より、各 に対して は を含む の開集合である。ここで は開球を表す。 となるような たちの全体は の開被覆を成す。 はコンパクトだから有限部分被覆 が取れる。 と置く。いま について と仮定する。ある に対して である。よって三角不等式より である。ここから が分かる。すなわち である。三角不等式から が分かる。
歴史と証明の別法 歴史的背景 この定理はエドゥアルト・ハイネとゲオルク・カントールにちなんで名付けられている。 1872年、ハイネは有界閉区間上の連続関数が一様連続であることを証明する論文を公表した（この証明の過程でハイネ・ボレルの被覆定理に通じる論法が用いられた）。1870年にはカントールが三角級数の意図された表現の唯一性を証明する論考の中で実質的に本定理を示しており、これら両者の貢献により「ハイネ・カントールの定理」として知られるようになった。
点列コンパクト性を用いた証明（背理法） 距離空間において「コンパクト性」と「点列コンパクト性」が同値であることを利用すると、背理法により比較的簡潔に証明できる。
が一様連続でないと仮定する。このとき、ある が存在して、任意の に対して
を満たす点列 が取れる。 は点列コンパクトであるため、 はある点 に収束する部分列 をもつ。 であることから、対応する部分列 も同じ点 に収束する。 は で連続であるため、 かつ となり、
が得られる。しかしこれは であることと矛盾する。したがって、 は一様連続でなければならない。
反例と一般化 定義域のコンパクト性の必要性 定義域 がコンパクトでない場合、連続関数であっても一様連続になるとは限らない。
開区間上の反例: 開区間 上で定義された連続関数 を考える。 の近傍で関数の傾きが非有界に大きくなるため、この関数は 上で一様連続ではない。 非有界領域上の反例: 実数直線全体 上で定義された連続関数 を考える。 で変化率が増大するため、 全体では一様連続ではない（ただし、任意の有界閉区間 に制限すれば本定理により一様連続となる）。
一様空間への一般化 一様連続性の概念は距離空間を超えて一様空間の枠組みで定式化される。 がコンパクトな位相空間（コンパクトハウスドルフ空間）、 が一様空間であるとき、任意の連続写像 は（ 上に誘導される唯一の一様構造に関して）一様連続となる。
関連項目 エドゥアルト・ハイネ ゲオルク・カントール 一様連続 コンパクト (数学) ハイネ・ボレルの被覆定理