外測度

数学、とくに測度論における外測度（がいそくど, ）は、与えられた集合の全ての部分集合に対して定義され、補完数直線に値をとる集合函数で、特定の技術的条件を満足するものを言う。この概念はコンスタンティン・カラテオドリによって加算加法的測度の理論の基礎を与えるため導入された。その後のカラテオドリの研究によるカラテオドリの拡張定理や、フェリックス・ハウスドルフによる距離空間のハウスドルフ次元などに関する多くの応用が見つかった。

カラテオドリの外測度は任意の部分集合に対して値が定まるが、それらの中には望ましい性質を持つ「可測集合」とそうでないとが混じっていることに注意すべきである。外測度の構成の目的は、そうして可測集合のクラスだけを取り出せば、それが完全加法族でありかつその上に定義域を制限した外測度が完全加法性を満たし実際にひとつの測度を与えるという点にある。

定義集合上の外測度とは、の冪集合上で定義された集合函数（つまり、非負値であって正の無限大となることも許す）であって次の性質を満たすもののことである：空集合は零集合: 空集合に対し単調性: の任意の部分集合に対し劣加法性: の部分集合からなる任意の（とくにどの二つも互いに素であることを要しない）集合列に対し

定義 (可測性) 外測度に対し、の部分集合が -可測あるいはに関してカラテオドリ可測であるとは、を満たすときに言う。定理 -可測集合の全体は-代数を成し、可測集合上に制限されたは可算加法的完備測度となる。

定義 (計量外測度) 距離空間と上の外測度に対し、は任意の部分集合に対し条件を満たすとき、（距離と両立する外測度）であるという。定理が上の計量外測度ならば、の任意のボレル部分集合が -可測である。

外測度の構成集合上の外測度の構成法はいくつか存在する。古典的な文献では二通りの有用な方法が区別して記載されており、以下の I, II はそれに従った。

構成法 I 集合を固定する。定理の適当な部分集合からなる族は空集合を元として含むものとし、は上の非負拡張実数値集合函数で、空集合における値は零とする。の任意の部分集合に対し（すなわち、を被覆するの元からなる任意の集合列にわたる、総和の下限、ただしそのような列が取れないときには下限の値は無限大であると約束する）によって定義するとき、は上の外測度を与える。

構成法 II いま一つの構成法は距離空間上の外測度の構成により適しており、計量外測度が得られる。距離空間において前節の如くの部分集合族は空集合を含み、上の非負拡張実数値集合函数は空集合において消えているとす。任意のに対し、およびと置けば、明らかにのときが成り立つ（これはが小さくなれば、下限をとる集合の範囲も小さくなることによる）。したがってが存在する（ただし、値が無限大となる場合を許すという意味で言う）。定理このように得られるは上の計量外測度である。

この構成法は距離空間に対するの構成に用いられる。

関連項目内測度ルベーグ外測度

脚注

注釈

出典

参考文献

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