アンペールの仮説（アンペールのかせつ、）またはアンペールの定理（アンペールのていり）とは、フランスの数学者・物理学者アンドレ＝マリ・アンペールが1806年に提唱した数学上の命題である。「すべての連続関数は、いくつかの孤立した例外的な点を除いて微分可能である」という主張を指すAmpère, A. M. (1806). "Recherche sur quelques points de la théorie des fonctions dérivées qui conduisent à une nouvelle démonstration du théorème de Taylor, et à l'expression finie des termes qu'on néglige lorsqu'on arrête cette série à un terme quelconque". Journal de l'École Polytechnique, pp. 148–181.。
19世紀後半に反例が発見されたため、現在では偽であることが確定しているが、微積分学の厳密化（解析学の基礎形成）に至る過程で重要な歴史的役割を果たした。
概要 19世紀初頭まで、関数の「連続性」と「微分可能性」の概念は厳密に区別されておらず、「グラフがつながっていれば（連続であれば）、角のような特別な点を除けば当然接線（導関数）が存在する」という直感が受け入れられていた。
アンペールは1806年の論文において、代数的な級数展開に依存しない導関数の存在証明を試み、連続関数であれば平均変化率
は の際に有限の値に収束（微分可能）すると主張した。
主張と不備 主張 ある区間において連続な関数 に対し、その平均変化率は極端に発散することなく有界であり、孤立した点を除いて極限値（導関数）が存在する。
論理的欠陥 現代の解析学の視点からは、アンペールの証明には「連続関数であれば変化率は有界である」という、微分可能性を暗黙の前提としてしまう循環論法に近い論理の跳躍が含まれていたとされる。
反例と破綻 1872年、ドイツの数学者カール・ワイエルシュトラスがワイエルシュトラス関数を発表したことで、アンペールの仮説は完全に否定された。
ワイエルシュトラス関数: 実数全体で「至る所連続であるが、至る所微分不能」な関数。
ワイエルシュトラス関数のグラフは、どこまで拡大しても無限にギザギザな構造（フラクタル構造）が続き、いかなる点においても接線を描くことができない。この発見により、直感に頼った解析学の限界が浮き彫りとなった。
数学史における意義 解析学の厳密化への寄与 「直感的に正しそうに見える命題が偽である」という事実は数学界に大きな衝撃を与えた。これにより、図形的な直感やイメージを排除し、極限や連続性を厳密に数式で定義するε-δ論法の確立へとつながった。
ラグランジュからコーシーへの橋渡し ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの「すべての関数はテイラー展開できる」という立場から、オーギュスタン＝ルイ・コーシーによる現代的な解析学への過渡期における、最も重要な試みのひとつとされる。
脚注
参考文献
関連項目 微分可能性 連続 (数学) ワイエルシュトラス関数 数学史