数学の関数解析学、特にバナッハ空間の幾何学（幾何学的バナッハ空間論）において、等脚直交（とうきゃくちょっこう、）とは、内積を持たない一般のノルム空間（バナッハ空間）において、ベクトルの直交性を一般化した概念の一つである。
1945年にによって導入されたJames, R. C. (1945). Orthogonality in norm-linear spaces. *Duke Mathematical Journal*, 12(2), 291–302.。
動機 ヒルベルト空間（または内積空間）において、2つのベクトル が直交すること（）は、それらの和と差のノルムが等しいこと、すなわち
と同値である。幾何学的には、これは と によって作られる平行四辺形の2つの対角線の長さが等しい（ひし形または長方形の性質）ことを意味する。
しかし、一般のバナッハ空間やノルム空間には内積が存在しないため、内積がゼロであることをもって直交性を定義することはできない。ジェームズはこの「対角線の長さの等しさ（等脚性）」に着目し、これを一般のノルム空間における直交性の定義として採用した。
定義 ノルム空間 の要素 に対し、 と が等脚直交する（isosceles orthogonal）とは、次が成立することをいい、 と表記する：
主要な性質 等脚直交性は、内積空間における通常の直交性と共通する性質を持つ一方で、一般のノルム空間ではスカラー倍に関して閉じないなどの独自の挙動を示す。
対称性（Symmetry）: 定義より明らかに、任意の に対して常に対称性が成り立つ：
これは、バーコフ＝ジェームズ直交が一般のバナッハ空間で非対称となることと対照的である。
非斉次性（Non-homogeneity）: 一般のノルム空間では、 であっても、任意の非ゼロスカラー に対して が成り立つとは限らない。
内積空間の特徴付け 等脚直交性の斉次性（スカラー倍に対する不変性）は、空間が内積空間（ヒルベルト空間）であることと強く結びついている。
次元が 2 以上のバナッハ空間 において、「 が任意の およびスカラー に対して成り立つ」ための必要十分条件は、 がヒルベルト空間（内積空間）であることである。
他の直交概念との比較 ノルム空間における直交性の一般化には、等脚直交のほかにいくつかの概念が存在する。
バーコフ＝ジェームズ直交 (): （すべてのスカラー ）。斉次性を満たすが、一般には非対称。 ピタゴラス直交 (): （ピタゴラスの定理に基づく）。一般には非対称かつ非斉次的。
次元が 3 以上のノルム空間において、これらの直交概念のうちいずれか2つが常に一致するための必要十分条件は、その空間がヒルベルト空間であることである。
脚注
関連項目 バナッハ空間 幾何学的バナッハ空間論 ヒルベルト空間 直交 バーコフ＝ジェームズ直交 ロバーツ直交
参考文献