数学の解析学、特に関数解析学や非線型解析の分野において、ムシエラク＝オルリッチ空間（ムシエラク＝オルリッチくうかん、）または一般化オルリッチ空間（いっぱんかオルリッチくうかん、）は、バーンバウム＝オルリッチ空間（オルリッチ空間）をさらに一般化した関数空間（ベクトルのなす空間）である。
通常のオルリッチ空間では大域的に一定なヤング関数 を用いて関数の可積分性を評価するのに対し、ムシエラク＝オルリッチ空間では空間の点（位置） に依存して変化するヤング関数 （ムシエラク＝オルリッチ関数または-関数と呼ばれる）を用いる。1959年にポリシュの数学者ジュリアン・ムシエラク（）とヴワディスワフ・オルリッチ（）によって導入されたMusielak, J., & Orlicz, W. (1959). On generalized Orlicz spaces. *Studia Mathematica*, 18(1), 49-65.。
近年では、非斉次な物質のモデル化や流体力学（たとえば電気流体力学的な流体モデル）、偏微分方程式の解析、変分法、画像処理などの応用分野で盛んに研究されている。
動機 通常の 空間やバーンバウム＝オルリッチ空間は、空間全体で均一な（移動不変な）可積分性条件を関数に課す。しかし、以下のような場合には空間上の点に応じた可積分性の評価が必要となる：
1. 変動指数 をもつ空間：物理的な物性が場所によって連続的に変化する媒体（例えば、スマート流体や流動性が不均一な流体）を記述する場合、局所的にべき乗の指数 が変化する 空間（変動指数ルベーグ空間）が必要となる。 2. 点ごとに成長条件が異なるポテンシャル：偏微分方程式の係数やラグランジアン密度が空間座標 に強く依存し、特異性や相移行をもつ場合。
ムシエラク＝オルリッチ空間は、これら「変動指数空間 」および「標準的なオルリッチ空間 」を統一的に扱うことができる最も包括的な枠組みとして開発された。
定義 をσ-有限測度空間とする。
関数 がムシエラク＝オルリッチ関数（または一般化ヤング関数）であるとは、以下の条件を満たすことをいう：
1. 任意の に対して、 は -可測関数である。
2. ほとんどすべての に対して、 はヤング関数（凸関数、下半連続、非自明かつ ）である。
可測関数 （または ）に対するモジュラー（凸モジュラー） を次で定義する：
このとき、ムシエラク＝オルリッチ空間 は、ある に対して となる可測関数 全体の集合（ほとんど至る所等しい関数は同一視する）として定義される：
ルクセンブルクノルム ムシエラク＝オルリッチ空間 には、以下のルクセンブルクノルム（Luxemburg norm）を導入することでバナッハ空間（完備ノルム空間）となる：
特別な場合 ムシエラク＝オルリッチ空間は、多くの重要な関数空間を特別な場合として含んでいる：
ルベーグ空間 ： （）の場合。 バーンバウム＝オルリッチ空間 ： （ に依存しないヤング関数）の場合。 可変指数ルベーグ空間 ： （ただし は可測関数）の場合。
性質 完備性: ルクセンブルクノルムのもとで、 はバナッハ空間をなすMusielak, J. (1983). *Orlicz spaces and modular spaces*. Lecture Notes in Mathematics, vol. 1034. Springer-Verlag.。 双対性: に対するルジャンドル＝フェンシェル共役（補ヤング関数） を用いて、共役なムシエラク＝オルリッチ空間 が定義される。 が適切な成長条件（ 条件など）を満たすとき、 の双対空間は と自然に同型になる。 回帰性: とその補関数 の双方が条件を満たすとき、空間 は回帰的（reflexive）となる。
脚注
関連項目 関数空間 バナッハ空間 バーンバウム＝オルリッチ空間 ルベーグ空間 変動指数ルベーグ空間 ソボレフ空間 モジュラー関数空間 凸関数
参考文献