変動指数ルベーグ空間（へんどうしすうルベーグくうかん、）または可変指数ルベーグ空間とは、通常のルベーグ空間 における可積分指数 を、定数ではなく場所ごとに変化する関数 に置き換えて一般化した関数空間（バナッハ空間）の一種である。非線形偏微分方程式や画像処理、流体力学（特に電気流動体モデル）などの応用数学・数理物理学の分野で重要な役割を果たす。
動機 通常のルベーグ空間 は、指数 が空間全体で一定であることを前提としており、これは現象の「一様性（均一性）」を記述するのに適している。しかし、現実の物理現象や工学的問題においては、場所によって可積分性や滑らかさの度合いが局所的に変化する状況（非一様な媒体）がしばしば現れる。
例えば、電圧の印加によって粘性が劇的に変化する電気流動体（ER流体）の力学モデルや、画像の輪郭（エッジ）を保持しつつノイズを除去する異方性拡散（画像処理）の分野では、エネルギー最小化問題を定式化する際、場所 に応じて非線形性の強さ（指数の値）が滑らかに変化するエネルギー汎関数を扱う必要がある。このような力学系や変分問題を厳密に数学化・解析するための自然な枠組みとして、変動指数ルベーグ空間（および、その微分版である変動指数ソボレフ空間）が導入された。
定義 を の開集合とし、 上の可測関数 を考える。この関数 を変動指数（）と呼ぶ。便宜上、 と置く。
上の複素（または実）数値可測関数 に対し、次のように定義されるモジュラー（） を導入する：
このとき、変動指数ルベーグ空間 は、適当な に対して となる可測関数 の全体（の同値類）からなる集合として定義される。
ノルム 通常のルベーグ空間（ が定数）とは異なり、単にモジュラーの積分の 乗を計算しても三角不等式を満たさないためノルムにならない。代わりに、ルクセンブルクノルムと呼ばれる以下のノルムを導入する：
このノルムのもとで、 は完備な線形空間、すなわちバナッハ空間となる。
基本的性質 変動指数ルベーグ空間の性質は、指数関数 の範囲や滑らかさに大きく依存する。以下、
と定義する。
代数的・幾何学的性質 のとき、空間 は回帰的かつ回帰的バナッハ空間となる。また、このときモジュラーとノルムの間には次の関係（トポロジーの一致）が成り立つ：
共役指数 を （ただし のときは ）で定義するとき、一般化されたヘルダーの不等式が成立する： （ここで は のみに依存する定数）。
包含関係 定数指数のルベーグ空間では、有界領域において ならば という包含関係があった。しかし変動指数ルベーグ空間においては、領域 が有界であっても、関数としての大小関係 が空間全体で成り立っている場合に限り が成り立つ。
調和解析における連続性（ログ・ヘルダー条件） 通常のルベーグ空間で極めて重要なハーディ＝リトルウッドの極大関数や特異積分作用素（カルデロン・ジグムント作用素など）が、変動指数ルベーグ空間上でも有界（連続）になるかという問題は、調和解析において長年中心的な課題であった。
単に であるだけでは極大関数は必ずしも有界にならない。2000年代初頭、デヴィッド・クルス＝ウリベ(David Cruz-Uribe)やラルス・ディニング（）らにより、指数 が以下の局所対数ヘルダー連続性（局所ログ・ヘルダー条件）：
および、無限遠方での適切な減衰条件（無限遠ログ・ヘルダー条件）を満たすならば、極大関数作用素が 上で有界になることが証明された。この条件は、変動指数空間上で調和解析を展開する際の実質的な標準公理となっている。
関連項目 ルベーグ空間 ソボレフ空間 バナッハ空間 - 変動指数ルベーグ空間は、オルリッチ空間をさらに一般化したムシエラク＝オルリッチ空間（Musielak-Orlicz space）の特別な場合にあたる。 偏微分方程式 画像処理 バナッハ関数空間
参考文献
David V. Cruz-Uribe, Alberto Fiorenza, Variable Lebesgue Spaces, Foundations and Harmonic Analysis, 2013.