倍数判定法（ばいすうはんていほう, ）は、ある数を別の数で割ると割り切ることができることを確かめるために、割り算をすることなく判別することができる裏技である。整除性の判定法、倍数の判定法ともいう。倍数判定法は割る数によってやり方が異なる。
十進数での倍数判定法一覧 十進数ではすべての数に倍数判定法が存在するが、数が大きくなるにつれて倍数判定法は複雑になる。また、ここでは12までの倍数判定法を紹介する。
1の倍数判定法
任意の整数はすべて1の倍数
2の倍数判定法
1の位が偶数なら、その数も2の倍数
3の倍数判定法
各桁の数を合計したものが3で割り切れれば、3で割り切れる。 各桁に現れる1, 4, 7の数と2, 5, 8の数の差が0ならば3で割り切れる。 1の位と10以上の位を足した数が3で割り切れれば、もとの数は3の倍数。
4の倍数判定法
最後の2桁が4で割り切れれば4の倍数である. 10の位が偶数の場合、1の位が0, 4, 8、10の位が奇数の場合、1の位が2, 6ならば4の倍数である 10の位に2を掛け、それに1の位を加える。それが4で割り切れればもとの数は4の倍数である 10の位以上に2を掛けた数と1の位の差が4で割り切れればもとの数は4の倍数である
5の倍数判定法
1の位が5の倍数(0か5)。
6の倍数判定法
2の倍数かつ3の倍数。 十の位以上の数字を足して10を掛けて、一の位の数を足した数が6の倍数ならもとの数は6の倍数である。
一の位から順に2桁ずつに分けて、百の位以上の数字を足して10を掛けて、残りの数を足した数が6の倍数ならもとの数は6の倍数である。
7の倍数判定法
下から3桁ごとに分ける。下から奇数番目の区分は1倍、下から偶数番目の区分は-1倍して合計する。これが7で割り切れれば7の倍数。 下から6桁ごとに区分する。各区分を合計する。これが7で割り切れれば7の倍数。 1の位に2を掛ける。10以上の位からそれを引く。結果が7で割り切れれば7の倍数。 1の位に5を掛け、10以上の位に加える。結果が7で割り切れれば7の倍数。 最上位の桁の数に3を掛ける。それに上から2桁目の数を加える。こうして得られた数を上位2桁と置き換える。2桁になるまで続け、7の倍数に達したならもとの数は7の倍数。 下から数えて3桁以上の数に2を掛ける。これに下2桁を加える。2桁になるまで続け、7の倍数に達したならもとの数は7の倍数。 上の桁から順に1, 3, 2, -1, -3, -2を掛け（周期性あり）、合計する。得られた結果が7で割り切れれば、7の倍数。 各桁の数字に小さい位から順に2のべき乗を掛けて足した数が7で割り切れれば、7の倍数
8の倍数判定法
下3桁が8の倍数。 100の位が偶数の場合、下2桁が8で割り切れれば8の倍数。 100の位が奇数の場合、下2桁に4を加えた数が8の倍数になればもとの数は8の倍数。 10の位以上の数に2を掛ける。これに下1桁を加えて8で割り切れれば8の倍数 100の位以上に4を掛けた数と下2桁の差が8で割り切れればもとの数は8の倍数である。 10の位以上に8を掛けた数と1の位の差が8で割り切れればもとの数は8の倍数である。
9の倍数判定法
各桁の数を合計したものが9で割り切れれば9の倍数。 1の位と10以上の位を足した数が9で割り切れれば、もとの数は9の倍数。
10の倍数判定法
1の位が0 下2桁が10の倍数
11の倍数判定法
全ての位の数字に符号を交互に並べて計算した数が11の倍数。 10以上の位から1の位を引く。結果が7で割り切れれば11の倍数。 1の位に10を掛け、10以上の位に加える。結果が7で割り切れれば7の倍数。 一の位から順に2桁ずつに分けて足した数が11の倍数ならもとの数も11の倍数。 下から2桁ごとに分け、各区分の数を合計する。結果が11で割り切れれば11の倍数。 一の位から順に3桁ずつに分けて符号を交互に並べて計算した数が11の倍数 全体で偶数桁の場合、最初の桁から最後の桁を引く。それを残りの（中間の）桁に加える。2桁になるまで続ける。結果が11で割り切れれば11の倍数 全体で奇数桁の場合、最初の桁と最後の桁を足す。それを残りの（中間の）桁から引く。2桁になるまで続ける。結果が11で割り切れれば11の倍数。
12の倍数判定法
3の倍数かつ4の倍数 下から数えて2桁以上の数を2倍する。そこから下1桁を引く。それが12で割り切れれば12の倍数。 一の位から順に2桁ずつに分けて符号を交互に並べ、小さい位から順に20のべき乗を掛けて合わせた数が12の倍数。 一の位から順に2桁ずつに分けて、小さい位から順に4のべき乗を掛けて合わせた数が12の倍数。
倍数判定法の証明 例えば、3桁の数100a+10b+cが7の倍数かどうかについて考えると、
100a+10b+c
100a+10b+50c-50c+c
100a+10b+50c-49
10(10a+b+5c)-7・7
となり、10a+b+5c部分が7の倍数であれば 3桁の数100a+10b+cも7の倍数であることが証明される。ほかの倍数判定法でも、概ね分配法則などを使用して、式を改変することで作成できる。
『1の位にnを掛け、10以上の位に加える。結果がxで割り切れればxの倍数』での倍数判定法作成手順 この方法は2や5と互いに素な数の倍数判定法を作るときのみ有効である。まず、xには作りたい倍数判定法の数を入れる。nに入れる数は1の位の数によって異なる。以下にnの決め方を示す。ただし、yはxの10以上の位のことである。
1の位が1のとき
y・-1を計算した値を入れる。
1の位が3のとき
y・3+1を計算した値を入れる。
1の位が7のとき
(y・3+2)・-1を計算した値を入れる。
1の位が9のとき
y+1を計算した値を入れる。
『下n桁がxの倍数』での倍数判定法作成手順 この方法は2や5のべき乗の数の倍数判定法を作るときのみ有効である。まず、xには作りたい倍数判定法の数を入れる。nは2または5のべき乗に直したときに指数となる数を入れる。
『～かつ～』での倍数判定法作成手順 この方法は上記のどれにも当てはまらない数を作るときのみ有効である。2つの～が互いに素になるかつ、二つの積が作りたい倍数判定法の数になるようにする。ただし、10の倍数の倍数判定法を作成したいときは、(10n),(2、5と互いに素の数)になるよう調整する。
参考文献
関連項目 倍数 倍 倍数詞 公倍数 約数 公約数 最大公約数 偶数 奇数 互いに素 倍数比例の法則 倍数性