ベクトル論理（ベクトルろんり、）Mizraji, E. (1992). Vector logics: the matrix-vector representation of logical calculus. Fuzzy Sets and Systems, 50, 179–185Mizraji, E. (2008) Vector logic: a natural algebraic representation of the fundamental logical gates. Journal of Logic and Computation, 18, 97–121とは、行列代数に基づく初等論理の代数的モデルである。ベクトル論理は、真理値がベクトルに写され、単項演算と二項演算が行列作用素によって遂行されると想定する。「ベクトル論理」という語はまた、古典命題論理をベクトル空間として表現することWestphal, J. and Hardy, J. (2005) Logic as a Vector System. Journal of Logic and Computation, 751-765Westphal, J. Caulfield, H.J. Hardy, J. and Qian, L.(2005) Optical Vector Logic Theorem-Proving. Proceedings of the Joint Conference on Information Systems, Photonics, Networking and Computing Division.——そこでは単位ベクトルが命題変数である——を指すためにも用いられてきた。述語論理は、座標軸が述語文字 と を表す同じ型のベクトル空間として表現されうるWestphal, J (2010). The Application of Vector Theory to Syllogistic Logic. New Perspectives on the Square of Opposition, Bern, Peter Lang.。命題論理のためのベクトル空間においては、原点が偽 F を表し、無限の周縁が真 T を表す。一方、述語論理のための空間においては、原点が「無」を表し、周縁が無からの飛翔、すなわち「何か」を表す。
概観 古典的な二値論理は、一つ（単項）ないし二つ（二項）の変数に依存する小さな数学的関数の集合によって表現される。二値の集合においては、値 1 が真に、値 0 が偽に対応する。二値ベクトル論理は、真理値真（t）および偽（f）と、二つの q 次元正規化実数値列ベクトル s および n との間の対応を要求する。すなわち、
および
（ここで は任意の自然数であり、「正規化」とはベクトルの長さが 1 であることを意味する。通常、s と n は直交ベクトルである）。この対応は、ベクトル真理値の空間 V2 = {s,n} を生成する。このベクトルの集合を用いて定義される基本的な論理演算は、行列作用素へと導く。
ベクトル論理の演算は、q 次元列ベクトル間のスカラー積 に基づく。ベクトル s と n の間の正規直交性は、 ならば 、（ただし ）ならば であることを含意する。
単項作用素 単項作用素は写像 から生じ、対応する行列は q 行 q 列を持つ。この二値ベクトル論理の二つの基本的な単項作用素は、恒等と否定である。
恒等：論理的恒等 ID(p) は行列 によって表される。この行列は次のように作用する。Ip = p, p ∈ V2。s の n に対する直交性により、 となり、同様に となる。このベクトル論理の恒等行列は、行列代数の意味での単位行列とは一般に異なることに注意するのが重要である。 否定：論理的否定 ¬p は行列 によって表される。したがって、Ns = n および Nn = s となる。論理的否定の対合的なふるまい、すなわち ¬(¬p) が p に等しいことは、N2 = I であるという事実に対応する。
二項作用素 16 個の二値二項作用素は、 という型の関数に対応する。二項行列は q2 行 q 列を持つ。これらの二項演算を遂行する行列は、クロネッカー積の性質に基づく。この積の二つの性質がベクトル論理の形式体系にとって本質的である。
これらの性質を用いて、二項論理関数の表現が得られる。
連言。連言（p∧q）は、二つのベクトル真理値に作用する行列 によって遂行される。この行列はその定式化において古典的な連言の真理値表の特徴を再現する。
であり、次を満たす。
および
選言。選言（p∨q）は次の行列によって遂行される。 その結果、 および
含意。含意は古典論理においては表現 p → q ≡ ¬p ∨ q に対応する。この同値関係のベクトル論理版は、ベクトル論理においてこの含意を表す行列 へと導く。この含意の明示的な表現は次のとおりである。
であり、古典的含意の性質が満たされる。 および
同値と排他的論理和。ベクトル論理においては、同値 p≡q は次の行列によって表される。 であり、
および
排他的論理和は同値の否定 ¬(p≡q) である。それは次で与えられる行列 に対応する。
であり、 および
NAND と NOR 行列 S と P は、それぞれシェファー（NAND）演算とパース（NOR）演算に対応する。
数値例
以下は、s と n のための二つの異なる2次元正規直交ベクトルの集合について、いくつかの基本的な論理ゲートを行列として実装した数値例である。
集合 1:
この場合、恒等作用素と否定作用素は、単位行列と反対角単位行列である。
そして連言、選言、含意の行列はそれぞれ次のようになる。
集合 2:
ここでは恒等作用素は単位行列であるが、否定作用素はもはや反対角単位行列ではない。
連言、選言、含意のための結果として得られる行列は次のとおりである。
ド・モルガンの法則 二値論理においては、連言と選言の演算はド・モルガンの法則 p∧q≡¬(¬p∨¬q) とその双対 p∨q≡¬(¬p∧¬q) を満たす。二値ベクトル論理についても、この法則は成り立つ。
、ここで u と v は二つの論理ベクトルである。
クロネッカー積は次の因数分解を含意する。
すると、二次元ベクトル論理においては、ド・モルガンの法則が単に演算に関する法則であるだけでなく、作用素を含む法則であることが証明されうるMizraji, E. (1996) The operators of vector logic. Mathematical Logic Quarterly, 42, 27–39。
対偶の法則 古典命題計算においては、対偶の法則 p → q ≡ ¬q → ¬p は、その同値関係が p と q の真理値のすべての可能な組み合わせについて成り立つために証明されるSuppes, P. (1957) Introduction to Logic, Van Nostrand Reinhold, New York.。これに対しベクトル論理では、対偶の法則は、行列代数とクロネッカー積の規則の内部での等式の連鎖から生じる。それは次のように示される。
この結果は、選言行列 D が可換な演算を表すという事実に基づいている。
多値二次元論理 多値論理は多くの研究者によって、とりわけヤン・ウカシェヴィチによって発展させられ、論理演算を不確実性を含む真理値へと拡張することを可能にするŁukasiewicz, J. (1980) Selected Works. L. Borkowski, ed., pp. 153–178. North-Holland, Amsterdam, 1980。二値ベクトル論理の場合、真理値における不確実性は、確率によって重みづけられた s と n を持つベクトルを用いて導入されうる。
（ただし ）を、この種の「確率的」ベクトルとする。ここでは、論理の多値的性格は、入力に導入された不確実性を介してアポステリオリに導入される。
ベクトル出力のスカラー射影 この多値論理の出力は、スカラー関数に射影され、ライヘンバッハの多値論理と類似性を持つ特定のクラスの確率論理を生成しうるRescher, N. (1969) Many-Valued Logic. McGraw–Hill, New YorkBlanché, R. (1968) Introduction à la Logique Contemporaine, Armand Colin, ParisKlir, G.J., Yuan, G. (1995) Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Prentice–Hall, New Jersey。二つのベクトル と 、および二項論理行列 が与えられると、スカラー確率論理がベクトル s への射影によって与えられる。
これらの射影の主要な結果は次のとおりである。
対応する否定は次のとおりである。
スカラー値が集合 {0, , 1} に属する場合、この多値スカラー論理は、多くの作用素について、ウカシェヴィチの3値論理とほとんど同一である。また、単項ないし二項作用素がこの集合に属する確率的ベクトルに作用するとき、出力もまたこの集合の要素であることが証明されている。
NOTの平方根
この作用素は、もともと量子計算の枠組みにおいてキュービットのために定義されたHayes, B. (1995) The square root of NOT. American Scientist, 83, 304–308Deutsch, D., Ekert, A. and Lupacchini, R. (2000) Machines, logic and quantum physics. The Bulletin of Symbolic Logic, 6, 265-283.。ベクトル論理においては、この作用素は任意の正規直交真理値へと拡張されうるMizraji, E. (2020). Vector logic allows counterfactual virtualization by the square root of NOT, Logic Journal of the IGPL. Online version ()。実のところ、NOTの平方根は二つ存在する。
、および 、
ただし 。 と は複素共役である。、そして および であることに注意せよ。もう一つの興味深い点は、−1 の二つの平方根との類比である。正の根 は に対応し、負の根 は に対応する。その帰結として、 となる。
歴史 論理演算を表現するために線型代数を用いる初期の試みは、パースとコピロウィッシュCopilowish, I.M. (1948) Matrix development of the calculus of relations. Journal of Symbolic Logic, 13, 193–203、とりわけ関係計算を解釈するための論理行列の使用に遡ることができる。
このアプローチは、高次元の行列とベクトルの使用に基づくニューラルネットワークモデルから着想を得ているKohonen, T. (1977) Associative Memory: A System-Theoretical Approach. Springer-Verlag, New YorkMizraji, E. (1989) Context-dependent associations in linear distributed memories. Bulletin of Mathematical Biology, 50, 195–205。ベクトル論理は、古典的なブール多項式を行列・ベクトル形式体系へと直接翻訳したものであるBoole, G. (1854) An Investigation of the Laws of Thought, on which are Founded the Theories of Logic and Probabilities. Macmillan, London, 1854; Dover, New York Reedition, 1958。この種の形式体系は、複素数を用いてファジィ論理を発展させるために応用されてきたDick, S. (2005) Towards complex fuzzy logic. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 15,405–414, 2005。論理計算への他の行列・ベクトルのアプローチは、量子物理学、計算機科学、光学の枠組みにおいて発展してきたMittelstaedt, P. (1968) Philosophische Probleme der Modernen Physik, Bibliographisches Institut, MannheimStern, A. (1988) Matrix Logic: Theory and Applications. North-Holland, Amsterdam。
インドの生物物理学者G・N・ラマチャンドランは、シャッド（Syad）およびサプタバンギ（Saptbhangi）として知られる古典ジャイナ論理の多くの演算を表現するために、代数的行列とベクトルを用いた形式体系を発展させた。インド論理学を参照Jain, M.K. (2011) Logic of evidence-based inference propositions, Current Science, 1663–1672, 100。これは命題における各主張について独立した肯定的証拠を要求し、二値的補完の想定をしない。
ブール多項式
ジョージ・ブールは、論理演算を多項式として展開することを確立した。単項作用素（恒等や否定など）の場合、ブール多項式は次のようになる。
四つの異なる単項演算は、係数の異なる二値から生じる。恒等演算は f(1) = 1 および f(0) = 0 を要求し、否定は f(1) = 0 および f(0) = 1 のときに生じる。16 個の二項作用素については、ブール多項式は次の形をとる。
二項演算は、係数 f がそれぞれの真理値表に示された値をとるとき、この多項式形式へと翻訳されうる。例えば、NAND 演算は次を要求する。 および 。 これらのブール多項式は、ただちに任意の数の変数へと拡張でき、大きな潜在的多様性を持つ論理作用素を生み出す。ベクトル論理においては、論理作用素の行列・ベクトル構造は、これらのブール多項式の線型代数の形式への厳密な翻訳であり、そこでは x と 1−x がそれぞれベクトル s と n に対応する（y と 1−y についても同様）。NAND の例では、f(1,1)=n および f(1,0)=f(0,1)=f(0,0)=s であり、行列版は次のようになる。
拡張
ベクトル論理は、多くの真理値を含むように拡張されうる。高次元のベクトル空間が、多くの直交する真理値と対応する論理行列の生成を可能にするからである。 論理的様相は、ニューラルモデルから着想を得た再帰的過程をもって、この文脈において完全に表現されうるMizraji, E. (1994) Modalities in vector logic . Notre Dame Journal of Formal Logic, 35, 272–283。 論理計算に関する一部の認知的問題は、この形式体系を用いて分析されうる。とりわけ再帰的な決定がそうである。古典命題計算の任意の論理式は、木構造によって自然に表現されうる。この事実はベクトル論理によって保持されており、自然言語の分岐構造の研究に焦点を当てたニューラルモデルにおいて部分的に用いられてきたMizraji, E., Lin, J. (2002) The dynamics of logical decisions. Physica D, 168–169, 386–396beim Graben, P., Potthast, R. (2009). Inverse problems in dynamic cognitive modeling. Chaos, 19, 015103beim Graben, P., Pinotsis, D., Saddy, D., Potthast, R. (2008). Language processing with dynamic fields. Cogn. Neurodyn., 2, 79–88beim Graben, P., Gerth, S., Vasishth, S.(2008) Towards dynamical system models of language-related brain potentials. Cogn. Neurodyn., 2, 229–255beim Graben, P., Gerth, S. (2012) Geometric representations for minimalist grammars. Journal of Logic, Language and Information, 21, 393-432 . Binazzi, A.(2012) Cognizione logica e modelli mentali. Studi sulla formazione, 1–2012, pag. 69–84。 フレドキンゲートのような可逆演算を介した計算は、ベクトル論理において実装されうる。そのような実装は、計算を得るために必要な入力形式と出力フィルタリングを生み出す行列作用素の明示的な表現を提供する。 初等セルオートマトンは、ベクトル論理の作用素構造を用いて分析されうる。この分析は、その動態を支配する法則のスペクトル分解へと導くMizraji, E. (2006) The parts and the whole: inquiring how the interaction of simple subsystems generates complexity. International Journal of General Systems, 35, pp. 395–415.Arruti, C., Mizraji, E. (2006) Hidden potentialities. International Journal of General Systems, 35, 461–469.。 さらに、この形式体系に基づいて、離散的な微分積分学が発展させられてきたMizraji, E. (2015) Differential and integral calculus for logical operations. A matrix–vector approach Journal of Logic and Computation 25, 613-638, 2015。
関連項目 代数的論理学 ブール代数 命題計算 量子論理 ジョナサン・ウェストファル
出典