近似理論（きんじりろん、）とは、複雑な関数をより単純な関数（主に多項式や有理関数）を用いて「最適に」近似する手法と、その際に生じる誤差の定量的評価を研究する数学の一分野である。
この理論は、純粋数学としての側面を持つと同時に、コンピュータや電卓の数学ライブラリにおいて超越関数を効率的に計算するための数値解析の基礎としても極めて重要である。
動機 コンピュータや電卓において、、、 といった超越関数を計算する場合、実際には加算と乗算のみで計算可能な多項式や有理関数に置き換えて処理が行われる。
この際、単にテイラー展開を用いるだけでは、中心点から離れるに従って急速に誤差が増大し、計算機に求められる一様な精度（例えば浮動小数点精度）を効率的に満たすことができない。近似理論の主な動機は、計算負荷を最小限に抑えつつ、指定された区間全体で誤差を均一に最小化する「最良近似」を見出すことにある。
最良近似多項式と交代定理 ある関数 を 次多項式 で近似した際の誤差関数を とおく。区間内で最大の絶対誤差 を最小にするような多項式は最良近似多項式と呼ばれる。
チェビシェフの交代定理（）によれば、 が 次の最良近似多項式であるための必要十分条件は、誤差関数 が近似区間内で符号を交互に変えながら、絶対値が最大誤差に等しい点（）を少なくとも 個持つことである。
この定理の背後には、もしこれよりも精度の高い多項式が存在すると仮定すると、その差をとった関数が 次多項式でありながら 個の零点を持つことになり、代数学の基本定理に矛盾するという論理的証明がある。
チェビシェフ近似 真の最良近似を厳密に求める計算は非常に複雑であるが、チェビシェフ多項式を用いることで、それに極めて近い近似（チェビシェフ近似）を効率的に得ることができる。
関数をチェビシェフ多項式の級数として展開し、高次の項を切り捨てる手法が一般的である。チェビシェフ多項式 自体が区間内で等振幅（ から ）で振動する性質を持つため、その打ち切り誤差も交代定理に近い振る舞いを示し、実用上非常に優れた近似を与える。
レメッツのアルゴリズム 最良近似多項式を数値的に導出するための標準的な手法として、レメッツのアルゴリズム（）がある。これは以下のステップを繰り返す反復計算である。 初期化: 適切な 個のテストポイント（通常はチェビシェフ多項式の極値点）を選択する。 線形計算: 選択した各点において、誤差が と交互に並ぶような連立一次方程式を解き、多項式の係数と暫定的な最大誤差 を求める。 最適化: 得られた誤差関数の実際の極値点を探索し、元のテストポイントを新しい極値点へ更新する。 反復: 最大誤差がすべての極値点において均一化（収束）するまでこのプロセスを繰り返す。
最良近似の理論的諸性質 近似理論において、特定の関数空間（連続関数の空間 や 空間など）における近似の可否や性質は、関数解析の手法を用いて詳細に研究されている。
存在性と一意性: 閉区間上の連続関数に対して、多項式による最良一様近似は常に一意に存在する。この一意性は、多項式の集合がハール条件（）を満たすチェビシェフ集合を構成することに起因する。 特徴付け: 最良近似多項式は、前述の交代定理のほか、有理線型汎関数や接汎関数を用いた変分的な手法によっても特徴付けられる。 ヒルベルト空間における近似: ヒルベルト空間（特に 空間）においては、最良近似は対象となる関数から近似関数の成す部分空間への直交射影として幾何学的に定義され、計算が比較的容易となる。
最良近似度と収束精度 関数 を 次多項式で近似したときの最小の誤差を最良近似度（）と呼び、 と表記する。
順定理 (Direct theorems): 関数の滑らかさ（微分可能性や連続度）から、近似誤差の減衰速度を導く定理。代表的なものにジャクソンの定理（）があり、関数が 回連続微分可能であれば となることを示す。 逆定理 (Inverse theorems): 近似誤差の減衰速度から、元の関数の滑らかさを特定する定理。ベルンシュタインの定理が有名であり、誤差の収束速度が速いほど、元の関数が高い正則性を持つことが保証される。 一様近似と平均近似: 最大誤差を最小化する一様近似（ ノルム）と、誤差の平均的な大きさを最小化する平均近似（ ノルム）では、最良近似度の振る舞いが異なる。
実装上の工夫 実用的な数学ライブラリの実装では、単一の多項式で全範囲をカバーするのではなく、以下の手法が組み合わされる。
レンジ・リダクション: 関数の周期性（例：三角関数）や加法定理（例：指数関数）を利用し、引数 を、多項式が最も高精度かつ低次数で機能する狭い基本区間（例： や ）に変換する。 定義域の分割: 区間を細分化し、各区間で異なる低次の近似式を適用する。
関連項目 数値解析 補間 多項式補間 スプライン曲線 最小二乗法 チェビシェフ多項式 ルンゲ現象 ワイエルシュトラスの近似定理
参考文献