二人零和ゲーム

はプレイヤーが二人で利得の和が常にゼロなゲームである。2人零和ゲーム、二人ゼロ和ゲーム、2人ゼロ和ゲーム、2人ゼロサムゲームとも。

概要 二人零和ゲームはプレイヤーがふたりの零和ゲームである。すなわち、プレイヤーが二人でその利得の和が常にゼロなゲームである（⇒ #定義）。タイマンのじゃんけんやチンチロリンは二人零和ゲームと理解できる（⇒ #具体例）。このゲームでは一方の利得増が他方の同量の利得減になるという特徴があり、単一の関数で利得を表現できる（⇒ #特性）。

定義 ゲーム のプレイヤー集合 、各プレイヤーの戦略集合 、各プレイヤーの利得関数 が次の条件、

を満たすとき、ゲーム は二人零和ゲームである|。

具体例 現実の様々なゲーム的状況が二人零和ゲームとして理解できる。以下はその具体例である：

タイマンじゃんけん: 2 人のプレイヤーが手を出して一方が勝ち他方が負け、あるいは引き分け タイマンチンチロ: 親と 1 人の子がサイコロの出目で勝負し、親→子 あるいは 子→親 に掛け金が移動

特性

利得の移動 二人零和ゲームでは二人のプレイヤー間で利得が移動する。

二人ゲームでは一般にプレイヤー と の利得が同時に増えたり、 が少し減って が大幅に増えたりする。二人零和ゲームでは の利得が 増えると の利得がちょうど だけ必ず減る。つまり、まるで綱引きのように、二人零和ゲームでは と の間で利得の移動・授受が起きる。

これは定義の第 1 条件より利得の移動先が 1 箇所に限られ、定義の第 2 条件より利得の移動量が移動元の増減量とちょうど一致することから明らかである。

この性質により、二人零和ゲームでは「自己利得の最大化（= 自己損失の最小化）」と「相手利得の最小化（= 相手損失の最大化）」が同義になる。大雑把に言えば、二人零和ゲームでは自分が儲かると相手が損するしp.2 より引用。p.1 より引用。、相手の嫌がることが自分の利益になる。これは相手利得の大きさが自己利得の大きさに一般には直接影響しない二人ゲームとの顕著な違いである。

利得関数の集約 二人零和ゲームでは二人の利得関数を一つの関数で集約・表現できる。

二人零和ゲームには 2 つの利得関数 がある。ここで とすると、定義の第 2 条件より と表現できるため、二人零和ゲームの利得は単一の関数 に集約して表現できる。

とした場合、プレイヤー は利得 を最大化すなわち を最大化しようとするため、と呼ばれる。プレイヤー は利得 を最大化すなわち を最小化しようとするため、と呼ばれる。

これらを用いると、二人零和ゲームは「 を最大化プレイヤー が最大化、最小化プレイヤー が最小化しようとするゲーム」と表現できる。二人零和ゲームがもつ「利得の移動」特性を鑑みると、二人零和ゲームは「 の最大化と最小化の綱引き」と捉えられる。

分類 ゼロ和ゲームは課される制約によって様々に分類される。

二人零和確定ゲーム 二人零和確定ゲーム が次の条件、

が一意に定まる

を満たすとき、 は二人零和確定ゲームである。すなわち利得関数がランダム性を持たない二人零和ゲームが二人零和確定ゲームである。

二人零和確定ゲームは確定的であるため悲観的決定基準が適用できる。この際、二人零和ゲームの「」特性により、 を用いて単純化できる。最大化プレイヤー は利得関数にあたる を最大化するので にマクシミン基準を適用する。このとき が保証される。最小化プレイヤー は損失関数にあたる を最小化するので にミニマックス基準を適用する。このとき が保証される。両プレイヤーが悲観的決定基準に従うと上記 2 つの範囲保証を組み合わせて が保証される。

二人零和確定ゲームのうち、 が空でない有限集合であり完全情報なときこのゲームは二人零和有限確定完全情報ゲームと呼ばれる。

脚注

注釈

出典

参考文献

関連項目 意思決定理論 ゲーム理論 ゲーム (ゲーム理論) 零和ゲーム 二人零和有限確定完全情報ゲーム ナッシュ均衡 ミニマックス法