極値 · Familiom • Czytelnia

数学の実解析において、実数値関数の極値（きょくち、）とは、関数の局所的な最小値および局所的な最大値の総称である。関数の極値を求める問題は極値問題と呼ばれる。

定義次元ユークリッド空間の開集合上で定義された実数値関数をとる。関数を定義域に属する点のある近傍に制限すると値がその最小値であるとき、値を関数の極小値（）といい、点を関数の極小点（）という。この条件は論理式を用いると

と表せる。同様に関数を定義域に属する点のある近傍に制限すると値がその最大値であるとき値を関数の極大値（）といい、点を関数の極大点（）という。

極小値と極大値を総称して極値（）といい、極小点と極大点を総称して極値点という。

上の条件に現れるをへ置き換えたとき、値を関数の狭義の極小値（）という。同様に狭義の極大値（）も定義される。またこれらを総称して狭義の極値という。（ただし狭義の極値を単に極値と呼ぶこともあるので、実際に用いられている定義をよく確認する必要がある。）

必要条件

次元ユークリッド空間の開集合上で定義された実数値関数をとり、これが微分可能であるとする。

定義域に属する点における関数の勾配

がであるとき、点を関数の停留点（）あるいは臨界点（）といい、値を停留値（）あるいは臨界値（）という。

点が関数の極値点であるためには、点が関数の停留点であることが必要である。

十分条件

次元ユークリッド空間の開集合上で定義された実数値関数をとり、これが2回連続微分可能であるとする。

関数の停留点におけるヘッセ行列

が正の定符号（）であるならば関数は点において狭義の極小値をとる。またヘッセ行列が負の定符号（）であるならば関数は点において狭義の極大値をとり、不定符号であるならば関数は点において極値をとらない（このとき点は関数の鞍点と呼ばれる）。

この方法により、ヘッセ行列が特異行列で停留点が退化している場合を除けば、極値判定ができる。

注釈

出典

関連項目ラグランジュの未定乗数法

参考文献

書評

外部リンク

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