極分解（きょくぶんかい、）は、線型代数学において、 複素行列 を、 半ユニタリ行列 と半正定値エルミート行列 を用いて、 または の形に書き表わすこと、またその表示を指す。 の形を特に右極分解 (right polar decomposition)と呼び、 の形を左極分解 (left polar decomposition)と呼ぶ。が実行列の場合は は半直交行列、 は半正定値対称行列になる。 が複素正方行列および実正方行列の場合 () には はユニタリ行列および直交行列になる。
複素行列の場合には の形になり (ただし は複素数であり、その絶対値 および偏角 は実数)、これは複素数の極形式 に他ならない。 実行列 を 次元空間 の線型写像として解釈する場合、極分解は を の回転または鏡映変換の合成である と、 の各直交軸ごとのスケール変換に分離する手法であるとも言える。
極分解定理 を 複素行列とする。このとき、右極分解
が存在する。ここで は 半正定値エルミート行列であり、 は 半ユニタリ行列である。つまり (のとき) または (のとき) が成り立つ。ただし、 は の随伴行列 であり、 は単位行列である。また、同様に 半正定値エルミート行列 半ユニタリ行列 により、左極分解
が存在する。
が実行列の場合は は半直交行列 となり、 (のとき) または (のとき) が成り立つ。ただし、 は の転置行列である。
特異値分解定理を用いた証明 特異値分解定理により以下の分解が存在する。
ただし、 は対角要素に ( のとき) もしくは ( のとき) の固有値 (0 以上の整数になる) の平方根を並べ、非対角要素に 0 を並べた 行列である。 が 複素行列の場合は、 は ユニタリ行列、 は ユニタリ行列になる。 が 実行列の場合は、 は 直交行列、 は 直交行列である。
ここでいくつかのケースに分ける。
(1) の場合
の特異値分解に を挟み、
とできる。ここで , とした。 は ユニタリ行列である。特に が実行列のときは も も実のため、 も実でありつまり直交行列である。 は と対角化され、固有値は半正定値である。さらに、
より はエルミート行列である。
(2) の場合
は の固有値の平方根を並べた 行列 を用いて
の形になる。ただし は 零行列で は 単位行列である。ここで を挟み、
とできる。 は 行列であり、
より は半ユニタリである。 が実行列のときは も も実のため、 も実でありつまり半直交行列である。 は の時と同様に半正定値エルミート行列であると示される。
(3) の場合
は の固有値の平方根を並べた 行列 を用いて
の形に書くことができる。ここで を挟み、
とできる。 の時と同様にして、 は 行列であり、
より は半ユニタリであり、 が実行列ならば半直交行列である。 は の時と同様に半正定値エルミート行列であると示される。
正規行列のスペクトル定理との関係 複素 次正方行列が正規であるとは が成り立つことを言い、このとき を正規行列と呼ぶ。正規行列に関しては、次のスペクトル定理が成り立つ。
正規行列のスペクトル定理 行列 が正規行列であるための必要十分条件は、それが対角行列 とユニタリ行列 により、
なる形に書けることである。ただし、対角行列 の各成分 は の固有値であり、 の各列 は の固有ベクトルであり、 の対角線上に並ぶ固有値の順番と の列ベクトルの順番は対応する。
特異値分解定理を用いた証明 (重複する固有値のない場合)
(1) 十分性 より、
ここで である。つまり であるからは正規行列である。
(2) 必要性 特異値分解定理から は、適当なユニタリ行列 によって、
と分解できる。 は 次半正定値対角行列 () である。ここで、
となる。 が正規行列であることから、 の左右から と を乗じて、
を得る。 とすると、
となる。つまり と は交換可能であり、同時対角化可能である。一方で、 より、
となる。
の対角要素が全て異なる値を持つ場合は、 と同時対角化可能なユニタリ行列 は、対角行列 以外にはない。したがって は、
となる。
の対角要素に重複する固有値がある場合には、ユニタリ行列 は固有空間ごとにブロック対角になり、特異値分解を用いた方針では都合が悪い。一般にはシューア分解を用いて証明する。
その他の性質 の場合、が正則行列であれば、の各対角要素は 0 を含まない。その場合、の対数行列が存在することになり、これをとすれば、も対角行列である。その場合、
という形で表すことができる。この式を
と変形すれば、はユニタリ行列であり、およびはエルミート行列となる .。 この分解は(行列)リー群の基本群を計算する上で有用である 。
参考文献
関連項目 対角化 特異値分解 固有値分解