可測関数のクラス、例えば（重み付き）ルベーグ空間、オルリッチ空間、ローレンツ空間は、関数解析学の多くの分野で中心的な役割を果たし、これらの概念はバナッハ関数空間（バナッハかんすうくうかん、Banach function space、BFS）という抽象的なクラスの特殊なケースである。この空間は、関数同士の順序をノルムで順応させるという特徴を有する。
定義 (の値を許す)ノルム空間に対し、写像が測度空間上の関数ノルム（Banach function norm）であるとは、全ての可測関数および任意の、可測集合に対して、次の条件を全て満たすことであるColin Bennett and Robert C. Sharpley, Interpolation of Operators, Academic Press, 1988, Chapter 1.。
-a.e., , Ideal property（格子性）： -a.e. ならば Fatou property（ファトゥの性質）： -a.e. ならば ならば ならば、ある定数 が存在して
ただし、は-可測関数全体の集合、は集合の指示関数を表す。
関数ノルムに対して、を満たす可測関数全体の空間をバナッハ関数空間と呼ぶ。
アソシエイト空間 関数ノルムに対し、可測関数のアソシエイト・ノルム（associate norm）は以下のように定義される。
アソシエイト・ノルムを満たす可測関数全体の集合もまたバナッハ関数空間となり、これをのアソシエイト空間（associate space）と呼ぶ。
性質 測度空間上のバナッハ関数空間について、以下の性質が成り立つ。
完備性: バナッハ関数空間は完備なノルム空間（バナッハ空間）である。これは、ノルムの絶対収束が空間内での収束を導くというリース＝フィッシャーの性質（Riesz-Fischer property）と同値である。 各点収束: 列 がノルム収束するならば、ある部分列はほぼ至る所（-a.e.）で各点収束し、さらに任意の有限測度集合上で測度収束する。 ヘルダーの不等式: 任意の と に対して、以下のヘルダーの不等式が成り立つ。
ローレンツ＝ルクセンブルクの定理（Lorentz-Luxemburg Theorem）: 二重アソシエイト空間 は元の空間 と等長同型（ かつ ）である。 埋め込みの連続性: 同一の測度空間上の2つのバナッハ関数空間 について、集合として であるならば、連続な埋め込み が存在する。すなわち、ある定数 が存在して、すべての に対して が成り立つ。
ノルムの絶対連続性と双対性 バナッハ関数空間における要素 のノルムが絶対連続（absolutely continuous）であるとは、可測集合の減少列 -a.e.（すなわち かつ の測度が0）に対して、次が成り立つことをいうColin Bennett and Robert C. Sharpley, Interpolation of Operators, Academic Press, 1988, pp. 13-18.。
すべての要素 が絶対連続なノルムを持つとき、空間 自体が絶対連続なノルムを持つという（ と表される）。
連続的双対空間との関係 一般に、バナッハ空間としての位相的双対空間（連続的双対空間） はアソシエイト空間 を包含する（自然な埋め込み が存在する）が、両者は必ずしも一致しない。
双対空間とアソシエイト空間の関係について、以下の同値性が成り立つColin Bennett and Robert C. Sharpley, Interpolation of Operators, Academic Press, 1988, pp. 19-23.。
位相的双対空間 がアソシエイト空間 と等長同型（）であるための必要十分条件は、 が絶対連続なノルムを持つことである。 バナッハ関数空間 が回帰的（）であるための必要十分条件は、 およびそのアソシエイト空間 の双方が絶対連続なノルムを持つことである。
例えば、ルベーグ空間 において、 のときはノルムが絶対連続であり となるが、 のノルムは絶対連続ではなく、その双対空間はアソシエイト空間 よりも真に大きくなる。
関連項目 バナッハ空間 オルリッチ空間 ローレンツ空間 モジュラー関数空間 変動指数ルベーグ空間
脚注
参考文献 Colin Bennett and Robert C. Sharpley, Interpolation of Operators, Pure and Applied Mathematics Book 129, Academic Press, 1988. ISBN 0-12-088730-4.