メルセンヌ素数と完全数は、数論において深い関係を持つ自然数である。

メルセンヌ素数はマラン・メルセンヌに由来し、（は素数）の形で表される。例えば、はメルセンヌ素数である（ = ）。メルセンヌ素数を構成する指数は素数でなければならないが、逆は成立しない（）。

完全数は自分自身を除く正の約数の和が自分自身に等しい自然数である。の正の約数は, であり、だから、は完全数である。

ユークリッドは紀元前3世紀頃に「 が素数ならば、 は完全数」ということを証明した。例えば、メルセンヌ素数（）に対して、完全数はである（ ）。レオンハルト・オイラーは18世紀に偶数の完全数はこの形で全て表されることを証明した。即ちメルセンヌ素数と偶数の完全数は一対一対応しており、これをユークリッド・オイラーの定理という。

メルセンヌ素数や完全数が無数にあるかどうかは未解決の問題である。メルセンヌ素数の個数はLenstra–Pomerance–Wagstaff予想の対象であり、与えられたより小さいメルセンヌ素数の数は （はオイラー数、はオイラーの定数、は自然対数）に近似されるとしている。さらに、奇数の完全数の存在は未解決の問題だが、存在するならばより大きい数でなければならないことが証明されている。

以下は、2025年1月現在で既知の52個のメルセンヌ素数と対応する完全数、および指数pの一覧である。そのうち最大のメルセンヌ素数18個がGIMPSにより発見された。発見者は「GIMPS / 参加者の名前」の形式で掲載されている。新たなメルセンヌ素数はリュカ–レーマー・テストにより発見されている。判定法の効率性ゆえに、古くから各時点での「既知の最大の素数」の多くがメルセンヌ素数である。

2021年10月現在、48番目（）までのすべての可能性がある指数がGIMPSにより検証されている。49番目以降の順位は暫定であり、新たな素数の発見により変動する可能性がある。桁数が多い数は各数値の最初と最後の6桁のみを示している。

+ 順位 メルセンヌ素数 完全数 発見 出典Sources applying to almost all entries:

数 桁数 数 桁数 日付 発見者 方法 1 2 3 1 6 1 Ancienttimes Known to Ancient Greek mathematicians Unrecorded 2 3 7 1 28 2 3 5 31 2 496 3 4 7 127 3 8128 4 5 13 8191 4 33550336 8 13th centuryor 1456 Ibn Fallus or anonymous Trial division 6 17 131071 6 8589869056 10 Pietro Cataldi 7 19 524287 6 137438691328 12 8 31 2147483647 10 230584...952128 19 Leonhard Euler Trial division with modular restrictions 9 61 230584...693951 19 265845...842176 37 Ivan Pervushin Lucas sequences 10 89 618970...562111 27 191561...169216 54 Ralph Ernest Powers 11 107 162259...288127 33 131640...728128 65 12 127 170141...105727 39 144740...152128 77 Édouard Lucas 13 521 686479...057151 157 235627...646976 314 Raphael M. Robinson Lucas–Lehmer test (LLT) on SWAC 14 607 531137...728127 183 141053...328128 366 15 1,279 104079...729087 386 541625...291328 770 16 2,203 147597...771007 664 108925...782528 1,327 17 2,281 446087...836351 687 994970...915776 1,373 18 3,217 259117...315071 969 335708...525056 1,937 Hans Riesel LLT on BESK 19 4,253 190797...484991 1,281 182017...377536 2,561 Alexander Hurwitz LLT on IBM 7090 20 4,423 285542...580607 1,332 407672...534528 2,663 21 9,689 478220...754111 2,917 114347...577216 5,834 Donald B. Gillies LLT on ILLIAC II 22 9,941 346088...463551 2,993 598885...496576 5,985 23 11,213 281411...392191 3,376 395961...086336 6,751 24 19,937 431542...041471 6,002 931144...942656 12,003 Bryant Tuckerman LLT on IBM 360/91 25 21,701 448679...882751 6,533 100656...605376 13,066 Landon Curt Noll & Laura Nickel LLT on CDC Cyber 174 26 23,209 402874...264511 6,987 811537...666816 13,973 Landon Curt Noll 27 44,497 854509...228671 13,395 365093...827456 26,790 Harry L. Nelson & David Slowinski LLT on Cray-1 28 86,243 536927...438207 25,962 144145...406528 51,924 David Slowinski 29 110,503 521928...515007 33,265 136204...862528 66,530 Walter Colquitt & Luke Welsh LLT on NEC SX-2 30 132,049 512740...061311 39,751 131451...550016 79,502 David Slowinski et al. (Cray) LLT on Cray X-MP 31 216,091 746093...528447 65,050 278327...880128 130,100 LLT on Cray X-MP/24 32 756,839 174135...677887 227,832 151616...731328 455,663 LLT on Harwell Lab's Cray-2 33 859,433 129498...142591 258,716 838488...167936 517,430 LLT on Cray C90 34 1,257,787 412245...366527 378,632 849732...704128 757,263 LLT on Cray T94 35 1,398,269 814717...315711 420,921 331882...375616 841,842 GIMPS / Joel Armengaud LLT / Prime95 on 90 MHz Pentium PC 36 2,976,221 623340...201151 895,932 194276...462976 1,791,864 GIMPS / Gordon Spence LLT / Prime95 on 100 MHz Pentium PC 37 3,021,377 127411...694271 909,526 811686...457856 1,819,050 GIMPS / Roland Clarkson LLT / Prime95 on 200 MHz Pentium PC 38 6,972,593 437075...193791 2,098,960 955176...572736 4,197,919 GIMPS / Nayan Hajratwala LLT / Prime95 on IBM Aptiva with 350 MHz Pentium II processor 39 13,466,917 924947...259071 4,053,946 427764...021056 8,107,892 GIMPS / Michael Cameron LLT / Prime95 on PC with 800 MHz Athlon T-Bird processor 40 20,996,011 125976...682047 6,320,430 793508...896128 12,640,858 GIMPS / Michael Shafer LLT / Prime95 on Dell Dimension PC with 2 GHz Pentium 4 processor 41 24,036,583 299410...969407 7,235,733 448233...950528 14,471,465 GIMPS / Josh Findley LLT / Prime95 on PC with 2.4 GHz Pentium 4 processor 42 25,964,951 122164...077247 7,816,230 746209...088128 15,632,458 GIMPS / Martin Nowak 43 30,402,457 315416...943871 9,152,052 497437...704256 18,304,103 GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone LLT / Prime95 on PC at University of Central Missouri 44 32,582,657 124575...967871 9,808,358 775946...120256 19,616,714 45 37,156,667 202254...220927 11,185,272 204534...480128 22,370,543 GIMPS / Hans-Michael Elvenich LLT / Prime95 on PC 46 42,643,801 169873...314751 12,837,064 144285...253376 25,674,127 GIMPS / Odd Magnar Strindmo LLT / Prime95 on PC with 3 GHz Intel Core 2 processor 47 43,112,609 316470...152511 12,978,189 500767...378816 25,956,377 GIMPS / Edson Smith LLT / Prime95 on Dell OptiPlex PC with Intel Core 2 Duo E6600 processor 48 57,885,161 581887...285951 17,425,170 169296...130176 34,850,340 GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 on PC at University of Central Missouri 49 74,207,281 300376...436351 22,338,618 451129...315776 44,677,235 GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 on PC with Intel Core i7-4790 processor * 74,340,751 Lowest unverified milestone 50 77,232,917 467333...179071 23,249,425 109200...301056 46,498,850 GIMPS / Jonathan Pace LLT / Prime95 on PC with Intel Core i5-6600 processor 51 82,589,933 148894...902591 24,862,048 110847...207936 49,724,095 GIMPS / Patrick Laroche LLT / Prime95 on PC with Intel Core i5-4590T processor 52 136,279,841 881694...871551 41,024,320 388692...008576 82,048,640 GIMPS / Luke Durant LLT / PRPLL on Nvidia H100 GPU * 137,750,177 Lowest untested milestone

脚注 注釈

出典

外部リンク

List on GIMPS, with the full values of large numbers A technical report on the history of Mersenne numbers, by Guy Haworth