ニーベンの定理

ニーベンの定理（ニーベンのていり、）は数学において度数法で0°≤θ≤90°の範囲で、θとsinθがともに有理数となるのは0°, 30°, 90°のみであるという定理である。イヴァン・ニーベンに因んで名付けられた。式で表せば、θとその正弦が有理数となるのは以下の場合のみである。

弧度法で表すと、0≤x≤/2の範囲でx/が有理数であるとき、sinxが有理数となるときはsin0=0, sin/6=1/2, sin/2=1である場合のみである。

この定理はニーベンの書籍 Irrational numbers （『無理数』）の系3.12に書かれている。

一般角に拡張して書くこともできる。有理数θにおいて、θの正弦または余弦が取る有理数値は0,±1/2,±1に限られる。また、正割または余割が取る有理数値は±1,±2に限られる。正接または余接が取る有理数値は0,±1に限られる余弦についての証明は次の文献の補題12にある。。

歴史ニーベンの証明は彼の書籍 Irrational Numbers に示されている。しかしニーベンの証明以前に、やオルムステッド（J. M. H. Olmstead）によって証明されていた。1933年のレーマーの書籍では、レーマーは余弦においてより一般の結果を証明している。具体的には、互いに素な整数に対して、は次の代数的数である。ただしはトーシェント関数。有理数は1次の代数的数であるから、またはが必要となり、の場合のみが残る。これらを個々に確かめることにより、ニーベンの定理の主張を得る。次に彼はを用いて正弦についての結果を得た。1956年、ニーベンはレーマーの結果を他の三角関数に拡張した。他の数学者はその後、新しい証明を発表している。

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