ゴッサード配景中心

ゴッサード配景中心（ゴッサードはいけいちゅうしん、）またはゼーマン＝ゴッサード配景中心 () は、幾何学における三角形の心の一つである。の Encyclopedia of Triangle Centers ではに登録されている。1998年にジョン・ホートン・コンウェイによって、1916年にこの点を発見したに因んで命名された。命名後、1899年から1902年の間に、クリストファー・ゼーマン () によってこの点が発見された旨のある出版物が発見された。そのため2003年より、Encyclopedia of Triangle Centers は後者の名を用いている。

定義サムネイル|400x400ピクセル|の垂心と、重心。

ゴッサード三角形のオイラー線が辺と交わる点をそれぞれとする。次に、を、のオイラー線が成す三角形とする。ただしはのオイラー線の交点とする。も同様に定義する。このをゴッサード三角形 () という。

ゴッサード配景中心のゴッサード三角形をとする。このとき直線は一点で交わる。この点をのゴッサード配景中心という。

性質

ゴッサード三角形と基準三角形は合同である。それぞれとは平行である。ゴッサード三角形をゴッサード配景中心で鏡映すると基準三角形となる。つまりゴッサード三角形は基準三角形をゴッサード配景中心を中心として点対称移動したものである。ゴッサード三角形と基準三角形のオイラー線は一致する。ゴッサード配景中心はオイラー線上にある。

座標ゴッサード配景中心の重心座標は次の式で表される。

として

一般化サムネイル|400x400ピクセル|直線はのオイラー線。直線がと平行になるように動く。の位置にかかわらずはと合同である。反転した青い三角形は基準三角形のゴッサード三角形。ゴッサード三角形の一般化は基準三角形と合同な三角形として一般化される。

ゼーマンによる一般化次はクリスストファー・ゼーマンによる一般化である。

のオイラー線と平行な直線との交点をそれぞれとする。次にをのオイラー線の成す三角形とする。とのそれぞれの辺は平行である。

ヨウによる一般化サムネイル|400x400ピクセル|パウル・ヨウによるゴッサード三角形の一般化次はパウル・ヨウ () による一般化である。

とその重心（幾何中心）でない点を取る。

このときとのそれぞれの辺は平行である。

が垂心のとき、直線はオイラー線で、はゴッサード三角形となる。

ダオによる一般化ダオ・タイン・オアイ () はさらなる一般化を発表している。と異なる2点を用意する。直線との交点をそれぞれする。次に、を通るの平行線とを通るの平行線の交点を、を通るの平行線とを通るの平行線の交点をとする。も同様に定義する。このとき、の成す三角形は基準三角形と合同で、かつ相似の位置にあり、相似の中心は上にある。ダオの結果は以下のように上記の定理をすべて統一したDao Thanh Oai, A generalization of the Zeeman-Gossard perspector theorem, International Journal of Computer Discovered Mathematics, Vol.1, (2016), Issue 3, page 76-79, 。

直線がオイラー線と一致すると、ゴッサード三角形とゴッサード配景中心となる。直線がオイラー線と平行ならゼーマンの一般化となる。のうち1点が重心ならば、ヨウの一般化となる。

ある直線に関する、最後に述べた相似の中心は直線のと呼ばれる。

出典

ゴッサード配景中心

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