代数学において、モーデル曲線（-きょくせん、）とは、 を非零整数定数として の形式で表される楕円曲線である。
ルイス・モーデルはこれらの曲線の格子点について詳しく研究した。彼はすべてのモーデル曲線が高々有限個の格子点 を持つと示した。言い換えれば、平方数と立方数の差は無限大に発散するということである。発散速度はベイカーの定理によって調べられている。この問題はとして取り扱われている。
性質 がモーデル曲線上の格子点であるとき、 も同様に格子点となる。
対応するモーデル曲線が格子点を持たないような が存在する。例えば 6, 7, 11, 13, 14, 20, 21, 23, 29, 32, 34, 39, 42, ... （） −3, −5, −6, −9, −10, −12, −14, −16, −17, −21, −22, ... （）
の場合についてはフェルマーのサンドイッチ定理（）として知られる。
解のリスト の絶対値が25以下の場合のモーデル曲線 の解のリストを示す。 となる解のみ示してある。
n (x,y) 1 (−1, 0), (0, 1), (2, 3) 2 (−1, 1) 3 (1, 2) 4 (0, 2) 5 (−1, 2) 6 – 7 – 8 (−2, 0), (1, 3), (2, 4), (46, 312) 9 (−2, 1), (0, 3), (3, 6), (6, 15), (40, 253) 10 (−1, 3) 11 – 12 (−2, 2), (13, 47) 13 – 14 – 15 (1, 4), (109, 1138) 16 (0, 4) 17 (−1, 4), (−2, 3), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (5234, 378661) 18 (7, 19) 19 (5, 12) 20 – 21 – 22 (3, 7) 23 – 24 (−2, 4), (1, 5), (10, 32), (8158, 736844) 25 (0, 5)
n (x,y) −1 (1, 0) −2 (3, 5) −3 – −4 (5, 11), (2, 2) −5 – −6 – −7 (2, 1), (32, 181) −8 (2, 0) −9 – −10 – −11 (3, 4), (15, 58) −12 – −13 (17, 70) −14 – −15 (4, 7) −16 – −17 – −18 (3, 3) −19 (7, 18) −20 (6, 14) −21 – −22 – −23 (3, 2) −24 – −25 (5, 10)
1998年、J. Gebel, A. Pethö, H. G. Zimmer は を満たすすべての格子点を見つけているおよび。。
2015年、M. A. Bennett と A. Ghadermarzi は の格子点を計算した。
脚注
外部リンク J. Gebel, Data on Mordell's curves for –10000 ≤ n ≤ 10000 M. Bennett, Data on Mordell curves for –107 ≤ n ≤ 107