等比数列

等比数列（とうひすうれつ）または幾何数列（きかすうれつ、）は、隣り合う2つの項の比が項番号によらず等しい数列をいう。各項に共通するその一定の比のことを公比（こうひ、）という。

例えば初項が , 公比がの等比数列の最初の数項を列挙するととなる。ある数列について、隣り合う項の比（この場合、）が常に等しいならその数列は等比数列である。

等比数列について、（定義より公比はでないため）公比は任意の番目の項とその次の項の比から得られる（特にの場合は公差がの等差数列でもある）。等比数列の各項は初項と公比を用いて具体的に以下のように表せる。

を初項とすれば、番目の項は以下のように表せる。

これが等比数列の一般項である。

等比数列を漸化式で表すと、

となる。

公比が負の場合は符号が一項ずつ入れ替わる。と置き換えると、

となり、各項はが奇数なら初項と異符号になり、偶数なら初項と同符号となる。公比が負の数列として、例えば　　なる公比の等比数列を考えると、その一般項は

となる。公比が正であれば全ての項は初項と同じ符号を持つ。

形式的に等比数列の一般項の対数をとると

となり、数列は初項、公差の等差数列になる。

等比数列の連続する3項を小さい順から , , とすると、常にが成り立つ。

等比数列の和等比数列の初項から第項までの和は以下の式で定義される。

の場合、を掛けると、

となるので、等比数列の和は以下のように変形できる。

ただし、の場合は

である。第項から第項までの和は

等比数列の級数（総和）を等比級数または幾何級数と呼ぶ。例えば初項 , 公比の等比級数は以下のように書ける：

等比級数は初項が 0 （）の場合や公比の絶対値が 1 より小さい（）場合に収束する。逆に、初項が 0 でなく（）公比の絶対値が 1 以上（）の場合には等比級数は発散する。

無限級数は数列の第項までの部分和の極限として定義される。等比級数が収束することは、以下の部分和の極限が収束することから確かめられる。

thumb| という幾何級数がに収束することを幾何学的に示した図。

例えば公比で初項がの等比級数はに収束する：

出典

注釈

参考文献

Źródło i licencja