van Emde Boas tree種類非二分木発表時期1975発明者Peter van Emde Boasビッグオー記法による計算量アルゴリズム平均最悪の場合空間O(M)O(M)探索O(log log M)O(log log M)挿入O(log log M)O(log log M)削除O(log log M)O(log log M) van Emde Boas 木 () とは、 ビットの整数による連想配列を実現するための木構造である。オランダの計算機科学者 Peter van Emde Boas らによって 1975 年に開発された。探索・挿入・削除といった操作がすべて最悪計算量 で行える。
vEB 木の空間計算量は悪く、例えば、32 bit 整数を扱おうとすると、 ビットの記憶域が必要になってしまう。ただし、工夫すれば、扱う要素の数を として の空間計算量を実現することもできる。
操作 vEB 木は、順序付き連想配列の機能を持ち、挿入・削除・検索の機能を持つ。また、これに加えて、与えられた数の周辺の要素の検索も可能である。Gudmund Skovbjerg Frandsen: Dynamic algorithms: Course notes on van Emde Boas trees (PDF) (University of Aarhus, Department of Computer Science)
挿入： ビットのキーと、対応する値のペアを挿入する 削除：与えられたキーを持つ要素を削除する 検索：キーから要素を検索する 後方検索： 以上で最小のキーを持つ要素を検索する 前方検索： 以上で最大のキーを持つ要素を検索する
さらに、vEB 木は最小値・最大値のクエリにも対応可能である。 最小値と最大値は木に変数として保存されているため、これらのクエリには で応答できる。
機能 代替文=Example van Emde Boas tree|サムネイル|1, 2, 3, 5, 8, 10 が挿入された後の vEB 木と、根が持つ補助構造の例 簡単のため、 がある整数 について成り立つとする。また、 とする。vEB 木 の根は、長さ の配列 を持つ。 は、 から までの要素を管理する vEB 木へのポインタを持つ。さらに、 はその最小値と最大値 、 と、補助の vEB 木 を持つ。
vEB 木には以下のようにデータが保存される。
木内の最小値は に、最大値は に入る。 以外の全ての値 は、 として で管理される。 は、 のそれぞれの要素が値を持っているかを管理する。つまり、 が空でない場合のみ は値 を持つ。
後方検索 vEB 木上で、x 以上で最小の要素を検索する は次のように実現できる：
・もし なら を返す。
・もし ならそのような要素は存在しない。
・ として、 なら、答えは で再帰的に探索して発見できる。
・そうでなければ、 で i 以上の最小の要素 j を検索して、 を返す。 function FindNext(T, x) if x < T.min then return T.min if x ≥ T.max then // no next element return M i = floor(x/) lo = x mod
if lo < T.children[i].max then return ( i) + FindNext(T.children[i], lo) j = FindNext(T.aux, i) return ( j) + T.children[j].min end 最悪の場合でも、この関数で再帰呼び出し以外の計算は で行えて、再帰のたびに木のサイズは元のサイズの平方根となるので、ビット数は半分になる。よって、時間計算量は漸化式 で与えられ、このオーダーは となる。
挿入 vEB 木 への値 の挿入操作 は次のように実現できる：
もし が空なら、 として、操作は終了する。 もし なら、 を対応する部分木 に挿入して、 とする。もし がもともと空なら、 に を挿入する。 それ以外の場合、対応する部分木 に を挿入して、もし がもともと空なら、 に を挿入する。 なら、 とする。 とする。
function Insert(T, x) if T.min > T.max then // T is empty T.min = T.max = x; return if x < T.min then swap(x, T.min) if x > T.max then T.max = x i = floor(x / ) lo = x mod Insert(T.children[i], lo) if T.children[i].min == T.children[i].max then Insert(T.aux, i) end 空の vEB 木への要素の挿入は で済む。もしアルゴリズムが再帰呼び出しを二回行っても、一度目の再帰呼び出しは空の vEB 木への挿入であるから、前節と同様に時間計算量の漸化式は となる。
削除 vEB 木からの削除は最も複雑な操作である。
vEB 木 からの値 の削除 は次のように実現できる：
も なら、x が唯一の要素であるから、木は空になり、 と とする。 なら vEB 木で 2 番目に小さい値 y を探してそれを削除し、 とする。y は を計算すれば求められるから、 で求まって、あとは y を部分木から削除すればよいだけである。 かつ なら、 から x を削除する。 もし なら、vEB 木で 2 番目に大きい値 y を探して、 としなければならない。前の場合と同じように x を削除した後、2 番目に大きい値は か であるから、 で計算できる。 上のすべての場合において、削除によって が空になったら、i を から削除する。
function Delete(T, x) if T.min == T.max == x then T.min = M T.max = −1 return if x == T.min then hi = T.aux.min * j = T.aux.min T.min = x = hi + T.children[j].min i = floor(x / ) lo = x mod Delete(T.children[i], lo) if T.children[i] is empty then Delete(T.aux, i) if x == T.max then if T.aux is empty then T.max = T.min else hi = T.aux.max * j = T.aux.max T.max = hi + T.children[j].max end この操作場合でも、挿入の場合と同じように、ひとつしか要素のない vEB 木からの削除が定数時間で行えることが重要である。2 番目の再帰呼び出しは、x が対応する部分木の唯一の要素だった時にのみ発生する。
考察 が整数だという仮定は実際には不要である。 と の計算は、上位 ビットと下位 ビットを取る操作で置き換えられる。現実の計算機では、割り算や剰余の計算よりこれはずっと高速である。
実用的な実装、特にビットシフトや最上位の 0 ビットを求める命令を持つマシンでは、 がワードサイズやその小さな倍数に達したら、データの持ち方をビット配列に変更することで、パフォーマンスを向上できる。ワードサイズの値の操作は全て定数時間で行えるので、漸近的な性能には影響しないが、大部分のポインタの保存と参照を省くことができ、大幅な時間計算量と空間計算量の削減が実現できる。
明らかな vEB 木の最適化として考えられるのは、空の部分木を省くことである。必要になるまで部分木が作られないので、多くの要素を含む場合、これで vEB 木のサイズは劇的に小さくなる。最初は、要素が追加されるたびに、合計 個のポインタを含む 個の新しい木が作られる。木が大きくなるにつれて、多くの部分木が再利用されるようになり、 個の要素すべてを持つ木でも、 のメモリしか消費されない。さらに、二分探索木と異なり、このメモリの大部分はデータそのものの保存に使われる。vEB 木全体で持つポインタは、要素が数億あったとしても数千個に収まる。
これはポインタを用いて実装され、空間計算量は となり、キーのある空間の大きさに比例する。これは次のように示される。
空間計算量に対して漸化式を立てると となり、これを解くと となる。さらに、数学的帰納法により も示される。
類似のデータ構造 の空間計算量は、キー空間の大部分が使われる場合以外には無駄が多い。これは vEB 木が実用でそこまで使われていない理由のひとつでもある。これには、子部分木に別のデータ構造を利用することで対処できる。ひとつ考えられるのは、階層ごとに固定されたビット数のみを用いることであり、この結果 trie が得られる。あるいは、配列をハッシュテーブルに置き換え、順序付けを犠牲にして空間計算量を （ は管理するキーの数）に減らすことも考えられる。x-fast tries や y-fast tries などの別のデータ構造では、vEB 木に匹敵する計算量を持ち、ハッシュテーブルを使って空間計算量を や に削減できる。
実装 Isabelle によって、正しさと時間計算量の両面で検証された実装が存在する。
出典