双対加群

双対加群（そうついかぐん、）とは、（主に）環 上の加群 に対し、 から「 を -加群とみなしたもの」への加群準同型全体

に、点ごとの加法とスカラー倍を入れて得られる加群である。線型代数学における双対ベクトル空間の一般化として扱われ、文脈により などとも表記される。可換環の場合は左右加群の区別が不要であるが、一般の（非可換）環では左加群の双対は自然に右加群となる点に注意が必要である。

定義 を環、 を（例えば）左 -加群とする。 を自然な（左）-加群とみなすとき、

は集合としては -線形写像全体である。加法を点ごとに

で定めると、 はアーベル群となる。さらに（非可換環の場合）右 -作用を

で定めると、 は右 -加群となる。可換環の場合には左作用と右作用が一致するので、 を通常ふたたび -加群とみなす。

関手としての性質 双対の対応 は、加群の射 に対し合成により

を与える。したがって双対は一般に 反変関手（contravariant functor）として振る舞う。

また、短完全列に双対を適用すると一般には完全性が保たれないが、Hom関手の一般論として、射影加群などの条件の下で挙動がよくなることが知られている。

例 自由加群の場合 が有限ランクの自由加群（可換環の場合、あるいは適切に左右をそろえた場合）であるとき、 も同じランクの自由加群となり、基底に関して が得られる。これは双対ベクトル空間の有限次元の場合と同様の性質である。

有限生成射影加群の場合 が射影加群で（典型的には）有限生成であるとき、後述の正準写像 が同型になることが多く、双対は幾何学・可換代数における「局所自由性」の代数的反映として現れる。

二重双対と正準写像 の双対 のさらに双対

を の二重双対加群（double dual module）という。各元 に対し評価写像

は -線形であるから、写像

が定まる。これを から二重双対への正準写像（canonical map, natural map）という。

一般に は同型とは限らず、 の性質（例えば torsion-free や reflexive など）を反映する。たとえば整域上では、二重双対はねじれがない（torsion-free）性質と関係し、 の核・余核がねじれ加群になるといった事実が知られている。

反射的加群 が同型であるとき、 は反射的加群（reflexive module）であるという。反射的加群は、幾何学的には（特に可換環・ネーター環の文脈で）正則性や特異点の研究と結びつき、可換代数・代数幾何で重要な役割を持つ。

関連項目 加群 双対ベクトル空間 Hom関手 テンソル積 射影加群

脚注

参考文献