体 K の絶対ガロア群（ぜったいガロアぐん、）とは、分離閉包 Ksep の K 上のガロア群
のことである。これは、K の代数的閉包 Kalg の自己同型のうち、K を固定するもの全体からなる群と一致する。
特に K が完全体であれば分離閉包 Ksep は代数的閉包 Kalg と等しい。その場合は単に とも表記される。通常の議論で扱う体はほとんどが完全体であり、例えば K が標数0の場合や、K が有限体の場合がこれにあたる。
絶対ガロア群は有限次分離拡大のガロア群の射影極限として表されるため、自然に副有限群の構造を持つ。これは内部自己同型による違いを除いて well-defined である。
例
代数的閉体の絶対ガロア群は単位元のみからなる自明な群である。
実数体 R の絶対ガロア群は複素共役と恒等写像からなる位数2の巡回群である。これは、複素数体 C が 実数体 R の分離閉包であり、[C:R] = 2 であることから分かる。 有理数体 Q の絶対ガロア群は非加算無限の濃度を持つ巨大な副有限群である。 一般に代数体 K の絶対ガロア群は有理数体の絶対ガロア群の部分群である。有理数体の場合と同様に非加算濃度の大きさを持つ。
有限体 Fpn の絶対ガロア群はの加法群
と同型であり、フロベニウス自己同型 Frobpn がその標準的な位相的生成元である。
複素数体上の有理関数体の絶対ガロア群は自由副有限群である。これはリーマンの存在定理に起源を持つ定理で、により証明された。
より一般に、任意の代数的閉体 C に対して、有理関数体 K = C(x) の絶対ガロア群は自由でその階数は C の濃度に等しいことが知られている。これはとフロリアン・ポップにより証明され、のちにとにより代数的な方法で別証明が与えられた。
K を p 進数体 Qp の有限次拡大とする。p ≠ 2 であれば、この体の絶対ガロア群は [K:Qp] + 3 個の元で生成され、またその生成元と関係式も完全に知られている。これはとによる結果である。p = 2 の場合にもいくつかの結果があるが、Q2 に対してはその構造は知られていない。
総実な代数的数全ての体の絶対ガロア群が決定されている。
未解決問題
有理数体の絶対ガロア群を直接的に記述する方法は知られていない。有理数体の絶対ガロア群の元（つまり有理数体の代数閉包の自己同型）で他と区別できるよう名前が付けられているのは恒等写像と複素共役だけである。ベールイの定理によりこの絶対ガロア群はグロタンディークの子供のデッサン（曲面上の地図）に忠実に作用するので、代数体のガロア理論を"見る"ことはできる。
有理数体の最大アーベル拡大 K の絶対ガロア群は自由副有限群であろうと予想されている（シャファレヴィッチの予想）, p. 449.。
その他の結果
全ての副有限群はあるガロア拡大のガロア群となるFried & Jarden (2008) p.12が、全ての副有限群が絶対ガロア群となるわけではない。例えば、有限群で絶対ガロア群となるものは単位元のみの自明な群か位数2の群だけであることがアルティン・シュライアーの定理から分かる。
全てのはの絶対ガロア群として実現できる。このことはとによって証明されたFried & Jarden (2008) pp.208,545。
脚注
参考文献