双曲線

双曲線（そうきょくせん、）とは、2次元ユークリッド空間 ℝ2 上で定義され、ある2点 F, F' からの距離の「差が一定」であるような曲線の総称である。

この2点 F, F' は焦点と呼ばれる。2点 F, F' を通る直線と2点 F, F' の垂直二等分線は主軸と呼ばれる。

双曲線の方程式

一般形 2次元直交座標系において、双曲線の2焦点の座標をそれぞれ , 、焦点からの距離の差の絶対値をとする。このとき双曲線の方程式は、次のように表される。これを一般形という。

この方程式は、うまく式変形することにより、必ず

　　（ただしは実数）

という形に表すことができる。

標準形 + 双曲線の標準形標準形漸近線焦点頂点準線離心率双曲線は、主軸を座標軸とする直角座標系において、次の方程式により表すことができる。これを標準形という。

この場合、焦点の座標は

と書ける。このとき、2焦点 F, F' から双曲線上の点 P への距離の差 |PF − PF'| は 2 となる。原点を双曲線の中心といい、2点(±, 0) を双曲線の頂点という。

双曲線上の点 P と焦点 F との距離 PF と点 P から準線までの距離の比は一定であり、比の値は離心率に等しい。

また、双曲線には2つの漸近線が存在しており、漸近線の方程式は

である。

特に、漸近線が直交している、すなわち = であるとき、この双曲線を特に直角双曲線という。

反比例のグラフも双曲線の一種である。これは、直角双曲線：を原点の回りにだけ回転させた双曲線に等しい。

媒介変数表示双曲線は、双曲線関数を用いて媒介変数表示することができる。

また双曲線は左側の頂点をuが無限大に近づいた点として有理関数を用いて媒介変数表示することもできる。

ただしとする。右側の連結成分はに、左下の連結成分はに、左上の連結成分はに対応する。これは二点とを通る直線と双曲線との交点のひとつとして得られる。

円錐曲線としての双曲線

双曲線は、直円錐を直円錐の頂点を通らず、上下両方の直円錐に交わる平面で切断したときの、切断面の境界である。

脚注

参考文献

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