数論におけるヘーグナー数 (英: Heegner number)（コンウェイとガイによる命名）とは、虚二次体 の類数が となる平方因子を持たない正の整数 のことである。言い換えれば、その整数環は一意な分解を持つ。
このような数は類数問題の特別なケースから定まるとともに、数論におけるいくつかの注目すべき結果の根底にある。
（ベイカー・）スターク・ヘーグナーの定理によれば、ヘーグナー数は正確に9つ存在する。
この結果はガウスによって予想され、1952年にによって軽微な誤りを含む証明がなされた。 アラン・ベイカーとは1966年に結果を独立して証明し、スタークはさらにヘーグナーの証明の誤りは軽微であることを示した。
オイラーの素数生成多項式 n = 1, ..., 40 に対して素数を与えるオイラーの
は、ヘーグナー数 163 = 4・41 − 1 と対応している。
オイラーの式において が 1, ..., 40 の値をとるとすると、 が 1, ..., 39 の値をとる以下の式と等価である。
"Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." は
について、判別式 がヘーグナー数にマイナスを付けたものの場合、またそのときに限り、 に対して素数を与えることを証明した。
（なお を代入すると となるため、 が n の最大値となる。）
を満たす p が存在しないため、機能するヘーグナー数は であり、これらはオイラーの形の素数生成式における にそれぞれ対応する。特にこれらの p は、によってと呼ばれているLe Lionnais, F. Les nombres remarquables. 。
ほとんど整数とラマヌジャンの定数 ラマヌジャンの定数とは超越数 のことであり、整数にという点でほとんど整数である。
Ramanujan Constant – from Wolfram MathWorld
この数は、1859年に数学者シャルル・エルミートによって発見された。サイエンティフィック・アメリカン誌の1975年エイプリルフールの記事 「数学的ゲーム」のコラムニストであるマーティン・ガードナーは、「その数は実際に整数であり、インドの天才数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが予測していた」という話をでっち上げたことから、この名前がついた。
この偶然性は、 虚数乗法とj-不変量のq-展開によって説明できる。
詳細 簡単に言えば、ヘーグナー数 d に対して は整数であり、 が q -展開によって示される。
もし が二次無理数とすると、j-不変量は次数 の代数的整数であり、 の類数と が満たす最小（モニック整数）多項式は、「ヒルベルト類多項式 (Hilbert class polynomial)」と呼ばれる。 したがって、虚数の2次拡大体 の類数が 1 であれば（つまり d はヘーグナー数）、 j-不変量は整数となる。
フーリエ級数展開を のローラン級数として表した j の q-展開は、最初の3項は以下のとおりである：
ローラン級数の係数 は漸近的に のように増大し、また低次の係数の増大が よりも遅いため、 において、 j は最初の2つの項で非常によく近似される。 とすると つまり となる。ここで とすると、以下の式が得られる。
これはすなわち
であり、誤差の線形項は
となるため、 が上記の範囲でほぼ整数である理由となる。
円周率の式 1987年、は以下の式を発見した。
これは、 という事実を用いている。同様の式については、を参照せよ。
その他のヘーグナー数 大きい方から4つのヘーグナー数について、以下の近似が得られるこれらは計算機で 計算することで確かめられ、誤差の線形項は で確認できる。 。
あるいは、 https://groups.google.com/g/sci.math.research/c/PSQTfJqGCJM?hl=en
ここで2乗の理由は、特定のアイゼンシュタイン級数によるものである。 のヘーグナー数についてはほとんど整数となる近似を得られず、 さえ注目に値しない実数乱数の絶対偏差（たとえば 区間の一様乱数）は の一様乱数となり、とは0.25となるため、偏差0.22はほぼ整数とみなすには大きすぎる。。整数の j-不変量は細かく因数分解可能であるが、これは ということに従う。素因数は以下のとおりである。
これらの超越数は、（単に次数 1 の代数的数である）整数によるよい近似のほかに、次数 3 の代数的数によってもよく近似できる。
3次式の根は、24番目の根を含むモジュラー関数であるデデキントのイータ関数 η(τ)の商によって正確に与えられ、これが近似における数値 24 の理由となる。また、次数4の代数的数によっても近似できる。
括弧内の式を とおくと（例： ）、 はそれぞれ四次方程式を満たす。
整数 の再出現と、以下の事実に注意せよ。
これは、適切な分数累乗を与えれば、正確に j-不変量である。
同様に、次数 6 の代数的数では以下のようになる。
ここで、x はそれぞれ六次式の適切な根によって与えられる。
ここで j-不変量が再び現れる。これらの六次方程式は代数的であるだけでなく、拡大体 訳註：原文では の上で2つの三次式に因数分解される（最初の因数はさらに2つの二次式に分解できる）ので、冪根によって解ける。これらの代数的近似は、デデキント・イータ商で正確に表現できる。例として、 とすると、
ここで、イータ商は上記の代数的数である。
類数 2 の数値 類数 を持つ虚二次体 を与える3つの数字 は、ヘーグナー数とは見なされないが、 ほとんど整数という点で同様の特性を有する。たとえば、
そして
連続素数 p を奇素数として、 に対して を計算すると（ なので、k の範囲はこれで十分である）、 p がヘーグナー数である場合、またそのときに限り、連続する素数に続いて連続する合成数が得られるhttp://www.mathpages.com/home/kmath263.htm。
詳細については、リチャード・モリン(Richard Mollin)の "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" を参照せよ。
脚注
外部リンク
Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld: 問題の詳細な歴史