エントロピー最大化モデル（エントロピーさいだいかモデル、）は、により導出された空間的相互作用モデルである。このモデルではエントロピーの概念が使用されており、モデル式は統計力学的な方法で、パーソントリップを分子運動のように捉えて導かれた。また、このモデルが重力モデルの理論的な根拠を説明したことで、重力モデルの問題点の一部が解消された。
モデル式 発生―吸収制約モデル、発生制約モデル、吸収制約モデルの場合について、モデル式は以下のように表される。 発生―吸収制約モデルの場合
ただし 発生制約モデルの場合
ただし 吸収制約モデルの場合
ただし
導出 発生―吸収制約モデルの場合の導出を以下に示す。
発地を個、着地を個、流動数の総和を、地域から地域への流動をとする。このときの流動パターンを考え、流動量が最多となる場合の発着地の組合せを把握したい。このときの制約条件は以下の通りである（ただしは総移動費用）。
ここではをに分配する、場合の数の最大値の決定を行えばよい。このとき、
が成立する。ここで、最大値の導出のために、式()の両辺を自然対数変換すると以下の式が得られる。
ここで、スターリング近似により、が十分に大きいときが成り立つため
が導かれる。よって、の最大化を目標としていく。その際、ラグランジュの未定乗数法を用いる。は式()、は式()、は式()のラグランジュ乗数とするとき、ラグランジュ関数は
となる。ここで、の最大値を与えるは、偏微分方程式を解くことで求められる。よって、以下の式が成り立つ。
式変形すると、以下の式が得られる。
さらに式変形すると、以下の式が得られる。
が得られる。このとき、
とおくと、式()は
と表示でき、発生―吸収制約モデルのときのエントロピー最大化空間的相互作用モデルが導かれた。
この他、発生制約モデルの場合は式()・式()を、吸収制約モデルの場合は式()・式()を、無制約モデルの場合は式()を制約条件として使用することで導出できる。
脚注 注釈
出典
参考文献