数学における超現実数（ちょうげんじつすう、）の体系は、全順序付けられた真のクラスとして実数のみならず（任意の正実数よりも絶対値が大きい）無限大および（任意の正実数よりも絶対値が小さい）無限小まで含む。超現実数の体系は、四則演算（加減乗除）など実数が持つ多くの性質を共有しており、順序体を成す 超現実数をフォンノイマン–ベルナイス–ゲーデル集合論 (NBG) において定式化するならば、超現実数体は（有理数体、実数体、有理函数体、レヴィ゠チヴィタ体、準超実数体、超実数体などを含む）すべての順序体をその部分体として実現できるという意味で普遍的な順序体となる。超現実数は、すべての超限順序数も（その算術まで込めて）含む。あるいはまた、（NBGの中で構成した）超実体の極大クラスが超現実体の極大クラスに同型であることが示せる（を持たない理論では必ずしもそうならないし、またそのような理論において超現実数体が普遍順序体になるとも限らないことに注意する）。
概念史 1907年にハンス・ハーンは、形式冪級数の一般化としてを導入した。またフェリックス・ハウスドルフは、順序数 に対する と呼ばれる順序集合を導入し、それと両立する順序群や順序体の構造を求めることができるかを問うた。 は修正された形のハーン級数を用いて適当な順序数 に対してそのような順序体を構成し、 をすべての順序数全体の成すクラスを亙って動かすことで、超現実数体に同型な順序体のクラスを与えた。
それとは別の定義および構成法が、ジョン・ホートン・コンウェイにより、囲碁の寄せについての研究から導かれている。コンウェイの構成法は1974年にドナルド・クヌースの著書 Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness に取り入れられた。対話形式で書かれたこの本においてクヌースは、コンウェイが単に「数」と呼んでいたものに「超現実数」という新たな名を付けた。のちにコンウェイもクヌースのこの造語を受け入れ、1976年には超現実数を用いてゲームを解析する を著した。
概観 コンウェイの構成法では、超現実数は、大小関係を表す順序 （二つの超現実数 に対し または が成立する。 かつ がともに成立するとき と は同値であると言い、同じ数を表すものと理解する）を伴って、段階を踏んで構成される。各段階における数は、既に構成された既知の超現実数からなる部分集合の対の形をしており、そのような数からなる部分集合 が与えられ、 のすべての元が のすべての元よりも真に小さいときに、対 は のすべての元と のすべての元との間に値を持つ中間数を表すものとなる。
このとき、全く異なる部分集合の対が結局は同じ数を定義するということが起こり得る —たとえ かつ となる場合であってさえも、二つの対 が同じ数を定義しうる—（同様の現象は、有理数を整数の商として定義するときにもあったことである。例えば と は同じ有理数の異なる表現である）。ゆえに厳密を期すならば、超現実数とはそのような同じ数を指す なる形式の表現からなる同値類のことと言うべきである。
構成の緒段（第零世代）では、既存の数は何もないのだから、表現には空集合しか用いようがない。表現 は および が空集合という意味であり、これを と呼ぼう。段階を踏んでいけば や のような形式が次々に生まれてくる。こうして整数は全て超現実数の集合に含まれる（上記は右辺の名称を左辺の式で定義するという意味の定義式であることに注意する。これらの各名称が実際に適切なものであることは、後で述べる超現実数の四則演算が定義されたときに根拠が与えられるであろう）。同様に のようなものも生じるから、（分母が2の冪であるような有理数）もまた全てが超現実数の集合に含まれる。
無限に段階を踏んだ後であれば、無限部分集合も使ってよいということになり、任意の実数 が、 より小さい（ここでの大きい・小さいは、実数としての大小関係で言うことに注意）二進分数全体の成す集合 と より大きい二進分数全体の成す集合 を用いて と表現される（これはあたかもデデキントの切断の如きである）。そうして任意の実数もまた超現実数の集合に埋め込まれる。
あるいはまた、 および なる表現も作られ、 は任意の整数よりも大きい超限数として、 は任意の正実数より小さいが よりは大きい無限小として解釈できるが、これらもまた超現実数として与えられる。さらに言えば、通常の算術における四則演算（加減乗除）が、これらの実数でないような量まで含めて、超現実数全ての集まりが一つの順序体となるような仕方で拡張できる。よって、この枠組みの中では や などのような無限大を数として扱った議論もできるということになる。
構成法 超現実数は、超現実数からなる集合の対（ただし一方の集合の各元が他方の集合の任意の元よりも真に小さいという制約が付く）に関する同値類として帰納的に定義される。この構成は、相互に依存する三種類のルール（構成規則・比較規則・同値規則）からなる。
形式 形式 (form) は左集合および右集合と呼ばれる超現実数からなる集合の対を言う。左集合を , 右集合を とする形式は と書き、また および が元のリスト（文字列）として与えられているときには、それらを括る波括弧は省略する。左集合または右集合の何れかまたは両方が空集合となることもあり得る。例えば両者空集合となる形式 は とも書く。 形式 が数値的（数的）であるとは、 と に交わりが無く、かつ の各元が の任意の元よりも真に大きいときに言う。ただし、大小関係は後で述べる順序 の意味で言う。
数値形式の同値類 数的な形式を同値類に分けるとき、その各々の同値類が「超現実数」である。形式における左集合と右集合は（形式ではなくその同値類としての）超現実数のなす宇宙からとることができる。 二つの数形式 が同じ数を表す（同じ同値類に属する）ための必要十分条件は および が同時に満たされることである。
順序関係は反対称でなければならない。つまり かつ という意味で であるのは、 と が同じものであるときに限る。これは超現実数を形式として捉えた場合には正しくないが、その同値類を取って作ったものであれば真となる。
空な形式 の属する同値類を とラベル付ける。すなわち、超現実数の は形式 によって表現される。
超現実数の再帰的定義は、以下で定義する比較規則に対して完全 (completed) である: 数値形式 に対して、 が成り立つとは で となるようなものが存在しない（ の左集合の元は何れも より小さい）; で を満たすものが存在しない（ の右集合の元は何れも より大きい） という条件がともに成立することをいう。
形式 と超現実数 との間の比較 は、同値類 の代表元となる形式 を取って を評価するならば意味を持つ。同様に形式 との比較 や超現実数同士の比較 も定義できる。
帰納法による定義 この一連の定義は再帰的であり、形式や数といった対象の成す宇宙を定めるためにはある種の数学的帰納法が必要になる。「有限な帰納法」を通じて到達できる超現実数は（二進有理数）に限られるから、より広い宇宙へ到達するには何らかの形での超限帰納法を与えなければならない。
初期条件: 第零世代 はただ一つの形式 のみからなる だけを含む集合とする。 帰納ステップ: 任意の順序数 に対し、第 -世代 は、それより前の世代全ての合併 から構成規則によって生成されるすべての超現実数からなる集合である。
初期条件は実際には（添字の を最小の順序数とみなして）帰納ステップの特別な場合と見ることもできる。これは、 を満たす は存在しないから、そのようなものの合併 もまた空であり、空集合の部分集合は空集合しかないから、したがって は左右ともに空なただ一つの形式 のみが属する同値類 のみからなる。
任意の有限順序数 に対して は、超現実数の比較規則によって誘導される順序に関して整列順序付けられる。
帰納規則を一回施すと、三種類の数形式が得られ、大きさ順にすると と書ける（形式 も出てくるがこれは数的でない: ）。これらの属する同値類に対し、 を含むものには を を含むものには をラベルとして割り当てる。この三種にこのようなラベル付けをすることは、環の公理を満たすことを確認するうえで特別に重要である（これらはちょうど、加法単位元 , 乗法単位元 および の加法逆元 を表すものとして、後で定義する超現実数の四則演算と整合する）。
任意の に対して、 で有効な任意の形式は においても有効であるから、 に属する任意の数は にも（ におけるそれらの数の表現の上位集合として）現れる（帰納ステップにおいて、 は一つ前の からではなく、それより前のすべての合併という形で構成されているから、この帰納的定義は が極限順序数であるときにも意味を為すことに注意する）。 に属する数のうち、 に属する適当な数の上位集合となっているようなものは、第 -世代から「遺伝した」と言う。与えられた超現実数に対し、それが属する の中で最小となる のことを、その超現実数のと呼ぶ。例えば の誕生日は であり、 の誕生日は である。
帰納ステップの繰り返し二回目では、以下のように順序付けられた同値類が得られる:
これら同値類の大小比較が、それを代表する形式の選び方に依らず無矛盾であることに注意。三つほどわかることがある: 第二世代 で新たに加わった超現実数は四つあり、その中に極端なものが二つある。ひとつは で右集合に前世代の数をすべて含み、いまひとつの は左集合に前世代をすべて含む。残りの二つは、前世代を二つの空でない集合に分割する形になっている。 前世代に存在したすべての超現実数 が全てこの世代にもあり、それぞれに対してそれを表す新たな形式を少なくとも一つ持っている。それは前世代の 以外のすべての数を、 より小さい数は左集合に、 より大きい数は右集合にそれぞれ入れた分割の形をしている。 一つの超現実数の同値類は、左集合の極大元と右集合の極小元のみに依存して決まる。
略式的には および はそれぞれ " の直後の数" および " の直前の数" と解釈できる。それら同値類には および のラベルを付ける。同様に略式的には および はそれぞれ " と の中間の数" および " と の中間の数" と解釈できるので、それら同値類には および とラベルを付ける。これらのラベルも後で述べる超現実数の加法および乗法に関する規則で正当化される。
帰納法の各第 -世代における同値類は、その左集合と右集合に直前の世代の元を可能な限り多く含む -完全形式 (-complete forms) によって特徴付けることができる。これら完全形式は、直前世代のすべての数をその左集合または右集合のいずれか一方だけにもつ（例えば第一世代はこのような数だけが生じる）か、さもなくば直前世代の数をただ一つを除いて全て含む（この場合、その完全形式は、この除かれたただ一つの数を表す新たな形式を与えていることになる）。さて、前世代の数には既に与えたラベルをそのままつけるものとして、新たにつけたラベルとともに大小関係に従って並べれば、第二世代は となる。
三番目の観察は、有限な左集合および右集合を持つ任意の超現実数に対して拡張できる（無限集合は極小元や極大元をもたないかもしれないから、左集合または右集合が無限集合である場合には修正が必要である）。だから例えば、形式 の表す超現実数は が表すものと同じである。第三世代における形式に関して同様のことを見るには、帰納規則の系として得られる「誕生日性質」(birthday property) が利用できる: 第 -世代において生じる形式 がそれより前の世代 から遺伝するための必要十分条件は、 の適当な元をとれば、それが の任意の元より大きく、かつ の任意の元より小さくできることである（言葉を換えて言えば、 と が以前の段階で既知となっている数によって既に隔たれているならば、 は新たな数を表すものではなく、既に得られた数である）。 が より前の任意の世代から来る数を表すとき、そのような世代 に最小値（つまり の誕生日）が存在して、その最小値を実現する数 が と の間にただ一つ存在する。 はこの を含む形式（つまり、 において の属する同値類）として第 -世代における の表現を部分集合として含む。
超現実数の算術 超現実数の加法、符号反転（反数）および乗法は、形式 に対して、以下のように再帰的に定義される。
反数 集合 の反数集合 を、その元の反数全体の成す集合 とすれば、与えられた超現実数の「形式」 に対してその反数は で与えられる。
この定義式の中には、 の左集合や右集合に現れる超現実「数」の反数も現れるが、これはそれら数の代表元となる形式を選んで形式に対する符号反転をとって得られた形式の属する同値類をとったものという意味である。ただし、この定義が意味を持つためには、結果として得られる数が被演算子となる形式のとりかたに依存しないことを示す必要がある。そのことは、 に現れる全ての数が、 が初めて現れるよりも前の世代において生じるものであるという事実を用いれば、その特別の場合として は確定であることと合わせて帰納的に示される。
加法 同様に加法もまた と帰納的に定義される。ただし、 および はである。
この定義式には、もととなる被演算子の一方（これは数ではなく「形式」である）と、他方の左集合または右集合からとった超現実「数」との和が現れているが、これはその数に対してはそれを表す形式を一つ選んで形式の間での和を計算し、その結果得られる形式の属する同値類をとった超現実数を意味するものと理解する。これもやはり、結果として得られる数が被演算子となる数を表す形式の選び方に依存しない場合にのみ矛盾なく定義可能となるが、これはその特別の場合である および が成り立つことから帰納的に示せる（後ろ二つの式それ自体も帰納的に証明されるものであることに注意する）。
乗法 超現実数の乗法の定義式には、被演算子と左集合および右集合に対する算術が含まれる（例えば のような式が の積の左集合に現れる）。これは、式に現れる各集合から数を任意に選び、それら数に対する演算（各々の計算の時点では、各集合から選ばれる数はただひとつであり、もとの式の集合が書かれている場所にそのとき選んだ数を代用して得られる式を評価する）を施して得られる超現実数全体からなる集合とする。ただしこれが矛盾の無い定義であるというために、 (a): の左右の集合から取った超現実「数」の対を掛け合わせて超現実数を得たりそれを反数にしたりするとき; (b): と、それらの左右の集合から取った超現実「数」とを掛け合わせて超現実数を得るとき; (c): 定義式で決まる形式から数を得るとき の各々において形式の選び方に依存する可能性が無いか確かめなければならない。これもやはりその特別の場合、今度は , 乗法単位元 およびその反数 の存在は確定するから で帰納的に乗法が矛盾なく定義されることは（やはり帰納的に）確認できる。
除法 除法は、逆数（乗法逆元）をとり、それを掛ける操作 に分けてしまえば、正の に対する反転を と帰納的に定義することに帰着される。この式において、上付きの は左集合 において正の値のみ残して、非正の値は捨てたものであることを意味するものとする（ は（右集合 の各項は常に正だからそのままでもよいが）左集合の記法と合わせて上付きになっているだけである）。
さてこの定義式は、 の左集合および右集合から取った数で割り算するという意味で再帰的であるばかりでなく、 それ自身の左集合および右集合の元をとらないといけないという意味でも再帰的になっていることに注意する。
は の左集合に常に入っているから、それを使って（左集合や右集合に入る）ほかの項を再帰的に順番に求めていくことは可能である。例えば の場合を考えるならば、 の左の項に があることは、定義式の右項にある に から , から を取ってきて代入した が の右集合に入ることを意味する。この の存在を利用して今度は、定義式の左項の を見れば、 が の左集合に入ることが分かる。これをさらに利用すれば、 は右集合の項であるとわかり、というように以下これを続ければ、 を得る。
負の に対する は、 で与えられる。 ならば は定義されない (undefined)。
これら算術の一貫性 さてこれらの四則は以下に述べる意味で「うまく行っている」(consistent): 加法および符号反転は、それぞれの帰納法において「より単純な」帰納ステップの加法および符号反転から再帰的に定義されているから、誕生日が である数に対する演算は、結局は誕生日が より小さい数に対する同じ演算によって全く言い表される。 乗法は、加法・符号反転と「より単純な」乗法のステップから再帰的に定義されているから、誕生日が である数に対する演算は結局誕生日が より小さな数から成す積の和や差として全く書き表されている。 被演算子が矛盾なく定義された超現実数形式（左集合の各元が右集合の各元より小さい）である限り、これら演算の結果はふたたび矛盾なく定義された数形式になる。 形式に対するこれら演算を超現実数（形式の同値類）に「拡張」できる。すなわち、超現実数 を符号反転したり、超現実数の対 を足したり掛けたりした結果は、 や を表す形式の選び方とは無関係に、同じ超現実数を与える。 これら演算は、加法単位元 および乗法単位元 を伴って、体の定義における可換律・結合律・反数律および分配律の各公理に従う。
これらの規則を用いれば、最初のほうのいくつかの世代に対して、それが完全にラベル付けできているかどうかの確認ができる。構成規則を繰り返せば、超現実数の更なる世代についても同様である。 . . . . .
算術で閉じていること 各自然数（有限順序数） に対し、 において生成されたすべての数が（すなわち、既約分数に書いたとき適当な整数 () を用いて の形に書ける有理数）である。
有限な に対する適当な において生成される超現実数全体の成す集合を と書くことにする。三種類の異なる形、 に分類すれば、 はこれらの合併である。個々の は（ 以外は）加法および乗法について閉じていないが、 は閉じている（これは二進分数全体の成す有理数体の部分環である）。
適当な無限順序数 が存在して、誕生日が より小さい超現実数全体の成す集合が別の算術演算で閉じているようにすることができる。任意の順序数 に対し、誕生日が （ω の冪節を参照）より小さい超現実数全体の成す集合は加法のもとで閉じていて、群を成す。 より小さい誕生日に対しては、乗法のついても閉じており、環を成す。また誕生日が（順序）イプシロン数 より小さいとすれば乗法逆元をとる操作でも閉じていて、体を成す。この最後の集合は Kruskal および Gonshor によって定義された指数函数のもとでも閉じている。
しかし、与えられた集合の任意の元より大きな超現実数を構成することは（構成子の左集合にその集合を含めることにより）常に可能であり、したがって超現実数全てからなる集まりは真のクラスとなる。このクラスは（それが集合でないという但し書きの上で）その大小比較を定める順序関係とこれら算術の四則に関して順序体を成す。実はこれは、最も大きな順序体という非常に特別なものになっている（ほかの任意の順序体は、超現実数体に演算と順序まで込めて埋め込める）。超現実数全体の成すクラスは で表される。
無限大 前掲の の任意の部分集合から構成規則によって生成される超現実数全体の成す集合を とする（順序数 は任意の自然数より大きい最小の順序数であるから、帰納ステップは前と同じ形に書けるが、そこに現れる合併集合は有限集合の無限合併が許されることになるので、そのような合併操作が展開できる集合論をとらなければならないことに注意する）。 は無限に大きい超現実数 をただ一つだけ含む。また、 は（二進とは限らない任意の）有理数に同一視することのできる対象を含んでいる。例えば、分数 の -完全 (-complete) な形式は で与えられる。 の代表元をこの形式とし、 を表す任意の形式との積をとった形式は、その左集合に より小さい数のみ属し、その右集合に より大きい数のみが属するから、誕生日性質によりこの積は を表す形式であることが従う。それ以外のすべての有理数が において生じるが、それだけではなく有理数でない任意の有限実数もまた同様に生じる。例えば である。
に属する無限大超現実数は および だけだが、 には任意の実数の間にもほかの種類の非実数が存在している。 における最小の正の数は によって考えることができる。これは より大きいが、任意の正の二進分数よりも小さいことを意味する数であるから、これは無限小超現実数である（無限小はよく と書かれる）。 (resp. ) の -完全形式は、 を表す -完全形式の左集合 (resp. 右集合) に を含めることで得られる。 に属する「純」無限小は およびその反数である だけである。それらと任意の二進分数 を加えて得られる超現実数 もまた に入る。
この と の間の関係を、それらを表す特定の形式を掛け合わせた から決定できる。ただし、この式は までの超限帰納法が意味を為す集合論でないときちんと定義できないことに注意すべきであるが、そのような系の中では、 の左集合の元の全体が正の無限小であること、および右集合の元の全体が正の無限大であることが示され、したがって は最も古い（つまり、最も誕生日の小さい）正の有限数、すなわち に等しい。ゆえに が帰結される。文献によっては、本項では と書いたものを表す記号として、体系的に を使っているものもある。
S の内容 の元 が任意に与えられたならば、以下の状況のうち何れかただ一つだけが成り立つ: がともに空である（ の場合）; が空で、 の任意の元よりも大きな整数 がある（このとき、 はこの条件を満たす最小の整数 に等しい）; が空で、 の任意の元よりも大きな整数 は存在しない（ の場合）; が空で、 の任意の元よりも小さい整数 が存在する（このとき、 はこの条件を満たす最大の整数 に等しい）; が空で、 の任意の元よりも小さい整数は存在しない（ の場合）; がともに空でなく、さらに 適当な二進分数 が と の（ の任意の元より大きく、 の任意の元よりも小さいという）「強い意味で間に」("strictly between") 存在する（この場合、 はこの条件を満たすもっとも古い二進分数 に等しい）; と の強い意味での間には二進分数 が存在しないが、（ の任意の元以上かつ の任意の元以下という）弱い意味で間にある二進分数 は存在する（ の場合）; と の強い意味での間には二進分数 は存在しないが、 の任意の元以上かつ の任意の元以下という）弱い意味で間にある二進分数 は存在する（ の場合）; 任意の二進分数が、 の適当な元より大きく、 の適当な元より小さい（この場合 は二進分数として表せない何らかの実数に等しい）。
代数学的には、 は四則演算で閉じていないから、体ではない。例えば を形式 で表せば、これは に属するどのような超現実数とも一致しない。 の中で、四則演算（の有限回の繰り返し）で閉じているような極大部分集合は実数全体の成す体 であり、これには無限大超現実数 も無限小超現実数 も各非零二進分数 の無限小近傍 も含まれることはない。
このように実数全体を構成する方法が、標準解析学におけるデデキント切断を用いた構成法と異なるのは、一般の有理数からの構成ではなく二進分数から始めることであり、また において各二進分数との自然な同一視は前世代における形式を用いて記述できることである（ の実数元を表す -完全形式と、デデキント切断で得られる実数との間に一対一対応が存在する。その対応のもと、デデキント実数はその切断点を左集合および右集合から取り除いた形式によって表される有理数に対応する）。超現実数の構成法では、有理数の全体 を同定することのできる帰納段階ははなく、 とは単に の部分集合として、 の適当な元 と同じく非零元 を取って とできる元 全体の成す集合という意味にしかならない。 が超現実数の算術演算の繰り返しの各々で閉じていることを示すことにより、それが体を成していることが示せる。また の各元が から（四則演算）の有限回（実際には二回以上は必要ない）の繰り返しで到達できることを示すことにより、 の部分集合として、 が実数全体 より真に小さいことがわかる。
集合 は実数全体 と同じ濃度を持つ。このことは、 から の単位閉区間 への全射およびその逆向きの全射を実際に示すことで証明できる。 から の上への写像は大したことは必要なく、 を含めた 以下の数を に写し、 以上の数は に写し、 と の間の数は における同値の数に写す（二進分数 の無限小近傍は 自身がそうであるのと同じく へ写す）ことで与えられる。 から の上への写像は、 の真ん中三分の一の開区間 を へ写し、右三分の一区間のさらに真ん中三分の一開区間 を に写し、以下同様に繰り返すと、これは の空でない開区間を の各元へ単調に写す。 の残りの部分はカントール集合 で、その各点は中心三分の一区間を左集合 および右集合 に分割することによって一意に同定でき、それがちょうど における形式 に対応する。これによってカントール集合は、誕生日が となる超現実数全体の成す集合に一対一対応するものと位置づけられる。
超限帰納法 を超えて超限帰納法を適用することを続ければ、より大きな順序数 が を誕生日とする最大の超現実数を表すものとして取り出せる（これは本質的に、超限帰納法から得られる順序数の定義である）。そのような順序数の最初のものは である。第 ()-世代における正の無限大超現実数は他にも がある。この が順序数でないことを見るのは重要である—順序数 はどのような順序数の後継にもならない。これは誕生日 の超現実数であって、これを とラベル付けるのはそれが と との和に一致することに基づく。同様に、第 ()-世代に属する二つの無限小超現実数 および が新たに生じる。
超限帰納法も後のほうの段階では、任意の自然数 に対する よりも大きな超現実数 が存在する。この数に と付けることの正当性は、その誕生日が （つまり、 から後継をとる操作によって到達できない最小の順序数）であることと、超現実数としての と の超現実数の和に一致することの両方の理由からくる。これをまた と書くことも、それが超現実数 と との超現実数の積に一致することで正当化できる。これは二番目の極限順序数になる（ から構成ステップを通じてこれに到達するには 上の超限帰納法が必要になる）。これには無限集合の無限合併が、ここまでに用いてきた超限帰納法で必要とされた集合演算「よりも強い」演算として、含まれることになる。
順序数の演算はそれらを超現実数として表したときの超現実数としての演算とは必ずしも一致しないことに注意すべきである。順序数の和としての は に等しいが、超現実数の和は可換であり が成り立つ。順序数の付随する超現実数の加法および乗法は、順序数の演算としてはに一致する。
が任意の自然数 に対する よりも大きいことと同じく、超現実数 は無限大超現実数だが、任意の自然数 に対する より小さい。つまり、 は によっても定義できる。ただし、右辺の記法 （ は数で、 は集合）は の意味で用いた。これは と を表す形式 との積と同一視できる。 の誕生日は極限順序数 である。
ω の冪