En mathématiques, un entier quadratique est un nombre complexe, racine d'un polynôme unitaire du second degré à coefficients entiers. La notion de nombre algébrique de degré inférieur ou égal à 2 est plus générale : elle correspond à un nombre complexe, racine d'un polynôme du second degré à coefficients seulement rationnels.
Ces nombres particuliers disposent de propriétés algébriques. Si α est un entier quadratique, l'ensemble ℤ[α] des nombres de la forme a + bα, où a et b désignent deux entiers relatifs, est un sous-anneau du corps ℂ des nombres complexes (c'est-à-dire qu'il est stable par addition, soustraction et multiplication et qu'il contient 1). Si β est un nombre algébrique de degré 2, l'ensemble des nombres de la forme a + bβ, où a et b désignent deux rationnels, est toujours un anneau unitaire et même un corps (tout élément non nul est inversible), appelé corps quadratique et noté ℚ(β).
Un nombre quadratique, entier ou seulement algébrique, est ainsi avant tout un élément d'un ensemble, structuré par deux opérations. Cette approche est au cœur de la théorie algébrique des nombres. Au lieu d'étudier un nombre particulier, comme le nombre d'or, l'analyse de la structure d'anneau associé, ici celui des entiers du corps ℚ() est plus fructueuse. Cette démarche est ancienne, dès le les mathématiciens indiens avaient déjà découvert une multiplication sur un ensemble de cette nature, qui permet de résoudre certains cas particuliers de l'équation de Pell-Fermat. Au , Gauss préfigure la démarche moderne et fixe le vocabulaire avec l'étude des entiers portant maintenant son nom. Il découvre que cet anneau est euclidien, permettant de développer une arithmétique analogue à celle des entiers relatifs, avec sa version du théorème fondamental de l'arithmétique et ses nombres premiers.
Ces structures sont parfois sujettes à des difficultés, qualifiées d'obstructions. L'une concerne les éléments inversibles qui sont parfois en nombre infini. Une deuxième obstruction existe si l'anneau n'est par exemple pas euclidien ni même principal. L'unicité de la décomposition en « facteurs premiers » ne s'applique plus et les techniques usuelles de l'arithmétique s'avèrent inopérantes. Une analyse plus profonde de la structure de l'anneau permet d'y remédier à l'aide du concept d'idéal d'un anneau.
Les anneaux d'entiers quadratiques forment en général la première classe d'exemples dans laquelle on tente de faire fonctionner des théories inaccessibles dans le cas général (voir par exemple le théorème de Kronecker-Weber en théorie des corps de classes). L'étude des entiers quadratiques admet une version plus algébrique : l'étude des formes quadratiques binaires et de leur réduction de Gauss, qui reflète les propriétés arithmétiques des corps quadratiques (groupe des classes d'idéaux en particulier). d'analogue à cette interprétation dans les corps de nombres en général.
Préambule Le nombre désigne dans le reste de l'article un entier sans facteur carré et différent de 1, la lettre ℤ désigne l'anneau des entiers relatifs, ℚ le corps des rationnels et ℂ celui des complexes. Motivation La première motivation historique est la résolution d'équations diophantiennes du deuxième degré. Ces équations sont à coefficients entiers et les solutions recherchées sont entières. Un exemple célèbre est x2 – 61y2 = 1, traité, 2010, . par Brahmagupta, un mathématicien indien, et repris par Fermat dans un défi présenté à la communauté européenne en 1657Fermat termine son défi par : (Laurent Hua et Jean Rousseau, Fermat a-t-il démontré son grand théorème ? l'hypothèse "Pascal", L'Harmattan, 2002 , )..
En vue de résoudre cette équation, il est judicieux d'étudier les nombres de la forme a + b, ici a et b désignent deux entiers relatifs. On remarque que si α et β sont de cette forme, alors leur somme et leur produit le sont aussi. De plus, si α et β correspondent à deux couples d'entiers solutions de l'équation, alors c'est aussi le cas pour αβ. Résoudre l'équation revient en fait à déterminer un sous-ensemble particulier de l'anneau unitaire des entiers quadratiques de la forme a + b. Cet ensemble correspond à un sous-groupe du groupe des unités, le groupe multiplicatif des éléments possédant un inverse dans l'anneau (si a – 61 b = 1, l'inverse de a + b est a – b).
Un deuxième exemple est l'étude des propriétés arithmétiques associées au nombre d'or φ = (1 + )/2. Une fois encore, les nombres de la forme a + bφ forment une structure stable pour l'addition et la multiplication, appelée anneau. Elle est particulière dans le sens où elle admet une division euclidienne. Cette division euclidienne offre une structure suffisamment proche de celle des entiers relatifs pour que le terme d'entier soit utilisé pour écrire un élément de l'ensemble. Les techniques de résolution sont absolument analogues à celle de l'arithmétique élémentaire.
En ajoutant des éléments à ℤ de façon à obtenir un corps, on construit ℚ, son corps des fractions. Lorsqu'on applique la même technique à un anneau d'entiers quadratiques, on obtient un corps quadratique. Cette structure est la « première marche » d'une tour d'extensions quadratiques, l'un des fondements de la compréhension des figures constructibles à la règle et au compas.
Anneaux euclidiens
Les entiers algébriques d'un corps quadratique ℚ() forment un anneau aux propriétés variables en fonction de la valeur de d. Son groupe des unités est connu pour chaque valeur de d. Il est fini si
Cet anneau est euclidien pour la norme définie ci-dessous (ou sa valeur absolue, si d > 0) si et seulement si d est l'une des 21 valeurs suivantes :–11, –7, –3, –2, –1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73.
Si d = –1, l'anneau est celui des entiers de Gauss. Il est formé des nombres complexes de la forme a + b avec a et b deux entiers relatifs et l'unité imaginaire.
Si d = –3, l'anneau est celui des entiers d'Eisenstein.
Lorsque l'anneau est euclidien, il est principal donc factoriel.
Groupe des unités Si d est positif (par exemple si d = 5), une première difficulté apparait : le groupe des unités de l'anneau des entiers de ℚ() (c'est-à-dire l'ensemble des éléments inversibles muni de la multiplication) est infini. Pour la résolution d'équations diophantiennes comme celle du « dernier théorème de Fermat » pour les « petits » exposants, ne serait-ce que pour n = 5, les contournements deviennent acrobatiques. Dirichlet appelle « obstruction » cette difficulté.
Anneaux non factoriels
Lorsque l'anneau est principal, les outils de l'arithmétique élémentaire s'appliquent avec succès. Le lemme d'Euclide, l'identité de Bézout ou encore la décomposition en facteurs premiers se traduisent pratiquement sans modification, hormis l'identification ci-dessus du groupe des unités. Ceux plus sophistiqués de l'arithmétique modulaire comme le passage au quotient, le petit théorème de Fermat ou la loi de réciprocité quadratique se généralisent aussi.
Le théorème de Stark-Heegner précise pour quels entiers négatifs d l'anneau est principal :Dans le cas des entiers d positifs, les anneaux principaux sont beaucoup plus nombreux, mais la conjecture de Gauss selon laquelle il existerait une infinité de corps quadratiques réels dont l'anneau des entiers est principal n'est toujours pas résolue.
Lorsque l'anneau est principal, il est factoriel. Ces deux notions sont en fait équivalentes pour l'anneau des entiers d'un corps quadratique ou plus généralement d'un corps de nombres, car il est de Dedekind.
Mais lorsqu'il ne l'est pas, les deux caractérisations usuelles dans ℤOu plus généralement dans un anneau à PGCD. des nombres premiers ne sont plus équivalentes car un élément (non nul et non inversible) irréductible, c'est-à-dire ne possédant pas d'autre diviseur que 1 et lui-même (à produit près par les inversibles) n'est plus nécessairement premier au sens du lemme d'Euclide, si bien qu'un élément peut avoir plusieurs décompositions différentes en produit d'irréductibles. Par exemple dans l'anneau ℤ[] des entiers de ℚ(),
De même, ℤ[], sous-anneau de l'anneau euclidien des entiers d'Eisenstein, n'est pas factoriel car
(on peut aussi, pour celui-ci, arguer du fait qu'il n'est pas intégralement clos : cf. § Fermeture intégrale et clôture intégrale).
Caractérisation
Nombre algébrique de degré 2 L'étude des entiers quadratiques fait intervenir les nombres plus généraux répondant à la définition suivante :
Un nombre algébrique est dit de degré 2 si son polynôme minimal est de degré 2. Le polynôme minimal d'un nombre algébrique α est le polynôme unitaire à coefficients rationnels de plus petit degré dont α est racine. Ainsi, un nombre complexe est algébrique de degré 2 si et seulement s'il est non rationnel et solution d'une équation du second degré à coefficients rationnels.
L'intérêt de cette notion provient de structures algébriques sous-jacentes à un tel nombre. On étudie plus les propriétés des structures associées que le nombre lui-même. Si α est un nombre algébrique de degré 2, le plus petit sous-corps de ℂ contenant α est l'ensemble ℚ(α) des nombres complexes de la forme x + yα.
Un tel corps est une extension quadratique de ℚ, or (cf. section suivante) une telle extension est toujours de la forme ℚ() pour un certain entier sans facteur carré ≠ 1. Il existe une convention prise ici, que les analystes ne font pas. Il n'est dit nulle part que est un entier positif, ce qui sous-entend que l'expression peut décrire la racine carrée d'un nombre négatif. En analyse, cette situation est dangereuse, on ne sait pas si cette racine désigne ou – et il n'est pas possible d'adopter une convention qui rende la fonction racine continue sur l'ensemble des nombres complexes. Le paragraphe suivant montre que cette difficulté n'existe pas dans le contexte de cet article. Pour une raison de commodité, l'usage du radical racine pour des entiers négatifs est fréquent en théorie algébrique des nombresPar exemple ., cette convention est utilisée ici.
Si α est algébrique de degré 2, ℚ(α) est égal à un certain ℚ() et α appartient à ℚ(). Réciproquement, un élément a + b de ℚ() est solution de l'équation X – 2aX + (a – db) = 0 donc est soit algébrique de degré 1 c'est-à-dire rationnel (si b = 0), soit algébrique de degré 2. On en déduit la caractérisation suivante des nombres algébriques de degré 2 :
Un nombre α est algébrique de degré 2 si, et seulement s'il existe deux rationnels b non nul et a, et un entier sans facteur carré ≠ 1, tels que α est égal à a + b.
Corps quadratique
Le corps ℚ() est isomorphe à l'anneau quotient ℚ[X]/(X – d) et toutes les extensions quadratiques de ℚ sont de cette forme (cf. article détaillé), ce qui justifie la définition suivante : Un corps quadratique est un sous-corps de ℂ de la forme ℚ(), où est un entier sans facteur carré différent de 1. Ainsi, tout nombre algébrique α de degré 2 appartient à un unique corps quadratique ℚ(α) = ℚ() et tous les éléments d'un corps quadratique sont algébriques de degré 1 ou 2. C'est même une propriété caractéristique des corps quadratiques : Tout corps commutatif contenant strictement ℚ et qui ne contient que des nombres algébriques de degré 1 ou 2 est isomorphe à un corps quadratique.(Une démonstration est proposée dans l'article détaillé.)
Entier quadratique
Un entier algébrique est un nombre algébrique dont le polynôme minimal (donc pris unitaire) est à coefficients dans ℤ. Un nombre α est algébrique de degré 1 si et seulement si c'est un rationnel ; son polynôme minimal est alors X – α. Les seuls entiers algébriques de ℚ sont donc les éléments de ℤ. Comme dans tout autre corps algébrique : de . on peut, dans un corps quadratique, s'intéresser aux éléments qui sont entiers algébriques :
Tout entier quadratique est donc élément d'un corps quadratique.