En géométrie, le problème de la bissection du triangle consiste à construire une droite traversant un triangle en divisant en deux parties égales son aire ou son périmètre.

Bissection du périmètre Cleaver

Dans un triangle plan, il existe trois segments de droite qui bissecte le périmètre du triangle en deux parties de même longueur et dont une des extrémités est au milieu d'un des côtés, appelés des cleavers.

Construction Chaque cleaver passant par le milieu d'un côté donné est parallèle à la bissectrice du sommet opposé à ce côté.

Le théorème de la corde brisée d'Archimède donne une autre construction des cleavers :

Propriétés Les trois cleavers se croisent au centre du cercle de Spieker du triangle.

Splitter

Un splitter est un segment de droite passant par un des sommets du triangle (segment de cévienne) et séparant le périmètre en deux parties de même longueur.

Propriétés L'autre extrémité du splitter se trouve sur le côté du triangle où un des cercles exinscrits du triangle est tangent à ce côté. Ce point est aussi appelé un point séparateur du triangle. Il est aussi un sommet du triangle de Nagel et un des points où l'ellipse inscrite de Mandart est tangente au côté du triangle.

Les trois splitters se croisent au point de Nagel du triangle, qu'on appelle aussi centre de séparation.

Généralisation Certains auteurs utilisent aussi le terme splitter pour tout segment qui sépare en deux le périmètre du triangle, dont les cleavers et les equalizers.

Equalizers

Un equalizer est un segment de droite séparant simultanément le périmètre et l'aire en deux parties égales.

G. Berzsenyi a établi que tout triangle admet au moins un equalizer et suppose qu'il en a au plus trois (ce qui a été démontré par la suite), et que tous passent par le centre du cercle inscrit du triangle. Des constructions géométriques existent également.

Généralisation

Dans un cas plus général que celui du triangle, les bissections du polygone plan, en aire ou en périmètre, ou du polyèdre, en volume, sont également étudiées.

Références

Liens externes

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