Le théorème de prolongement de M. Riesz a été démontré par le mathématicien Marcel Riesz lors de son étude du problème des moments.
Formulation Dans un espace vectoriel réel E, soient F un sous-espace vectoriel et K un cône convexe.
Une forme linéaire
est dite K-positive si
Un prolongement K-positif de φ est une forme linéaire
Il n'en existe pas toujours : déjà en dimension 2, pour φ n'a pas de prolongement K-positif.
Cependant, une condition suffisante d'existence d'un prolongement K-positif est :
Démonstration Par récurrence transfinie, il suffit de considérer le cas E = F⊕ℝy.
Dans ce cas, étendre linéairement φ : F → ℝ en ψ : E → ℝ revient à choisir un réel et à poser En considérant les f +λ y qui appartiennent à K et en distinguant deux cas suivant le signe de λ, la condition sur pour que la K-positivité de φ se transmette à ψ s'écrit alors : (Remarquons que comme y et –y appartiennent à E = K + F = K – F par hypothèse, les deux ensembles φ((y – K)∩F) et φ((y + K)∩F) sont non vides, si bien que la borne supérieure du premier appartient à et la borne inférieure du second à .)
Le choix d'un tel réel est donc possible dès que
et cette condition est assurée par la K-positivité de φ car sous les hypothèses ci-dessus, le vecteur appartient à F∩K.
Corollaire : théorème de prolongement de Krein
Dans un espace vectoriel réel E, soient K un cône convexe et un vecteur tel que
Alors il existe sur E une forme linéaire K-positive ψ telle que ψ() = 1.
Références
M. Riesz, « Sur le problème des moments : troisième note », dans Ark. Mat. Astronom. Fys., vol. 17, n° 16, 1923
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Riesz, Prolongement Catégorie:Analyse convexe