Eulerin φ-funktio on niiden positiivisten kokonaislukujen määrä, joille pätee syt(n, k) = 1 eli n ja k ovat suhteellisia alkulukuja.Rosen, s. 161 Esimerkiksi , koska lukua 10 pienemmistä positiivisista kokonaisluvuista ainoastaan luvut 1,3,7 ja 9 ovat suhteellisia alkulukuja luvun 10 kanssa.
φ-funktion arvo voidaan laskea kaavasta
eli tuloon otetaan tekijöiksi kaikki alkuluvut jotka jakavat luvun .Rosen, s. 169 Esimerkiksi
,
koska vain alkuluvut 2 ja 5 jakavat luvun 10.
Ominaisuuksia
missä ζ on Riemannin zeeta-funktio. Kaavasta seuraa approximaatio
(missä γ on Eulerin vakio).
missä m > 1 on positiivinen kokonaisluku ja ω(m) on m:n eri alkulukujakajien määrä.
Epäyhtälöitä φ-funktiolle φ-funktiolle on voimassa
, kaikille n>6.
kun n > 2, missä on Eulerin vakio.
kun n > 0,
Kaikille :
Suurillekaan luvuille n yllä olevaa epäyhtälöä ei voi parantaa. Tarkemmin sanoen:
Menonin identiteetti
Lähteet
Viitteet
Luokka:Multiplikatiiviset funktiot