Laplace-muunnos (Laplacen muunnos) on eräs yleisimmin käytetyistä integraalimuunnoksista. Muunnoksella on käytännön sovelluksia monilla fysiikan osa-alueilla, erityisesti elektroniikassa sekä matematiikassa todennäköisyyslaskennassa. Laplace-muunnosta voidaan käyttää myös differentiaaliyhtälöiden alkuarvotehtävien ratkaisemiseen.
Mielivaltaisen funktion f(t), joka on määritelty kaikilla t>0, Laplace-muunnos määritellään integraalina:
,
missä . Joskus käytetään myös kaksipuolista muotoa:
Yleisessä tapauksessa muunnoksen argumentti on kompleksiluku: , missä on imaginääriyksikkö ja . Laplace-muunnoksen käänteismuunnos tunnetaan Bromwichin integraalina. Se on kompleksinen integraali:
Laplace-muunnoksen ominaisuuksia Laplace-muunnos on selvästi lineaarinen:
Kahden funktion konvoluution Laplace-muunnos:
Signaalinkäsittelyssä käytännöllinen on alku- ja loppuarvoteoreema:
Erityisen kiintoisa on funktion derivaatan Laplace-muunnos:
Tämän ominaisuuden avulla differentiaaliyhtälö voidaan muuttaa algebralliseksi yhtälöksi, jonka ratkaiseminen on tyypillisesti paljon differentiaaliyhtälöä yksinkertaisempaa.
Yleensä on Laplace-muunnosta käytettäessä kätevää käyttää valmiita muunnoskaavoja, joita on taulukoitu erilaisille funktioille. Seuraavassa on keskeisimpiä:,
Funktio Laplace-muunnos Rajoitteet 1 s>0 s>0 s>0 s>0 s>0 s>0
Katso myös Fourier'n muunnos Mellinin muunnos
Lähteet
Kirjallisuutta
Aiheesta muualla Laplace- ja Fourier-muunnoksia online Luettelo funktioiden Laplace-muunnoksista ja käänteismuunnoksista Toinen luettelo eri funktioiden Laplace-muunnoksista
Luokka:Analyysi Luokka:Integraalimuunnokset