Lemmojen kirja () on Arkhimedeen nimiin laitettu antiikin kreikkalainen matemaattinen teos, joka käsittelee tasogeometriaa. Se on säilynyt nykyaikaan vain latinankielisenä käännöksenä.Stén, Johan: ”Arkhimedeen teosten kokoaminen”. Teoksessa
Historia
Arkhimedes eli ja kirjoitti hellenistisellä kaudella 200-luvulla eaa. Teos Lemmojen kirja on säilynyt nykyaikaan vain sen arabiankielisestä käännöksestä () 1600-luvulla tehtynä latinankielisenä käännöksenä. Teos ei kuitenkaan voi olla nykymuodossaan sellaisenaan Arkhimedeen kirjoittama, sillä häntä lainataan tai häneen viitataan siinä nimellä useammin kuin kerran.
Sisältö
Teos on nimensä mukaisesti kokoelma lemmoja, ja koostuu viidestätoista tasogeometrian propositiosta. Ne ovat:Arkhimedes: Lemmojen kirja, propositiot 1–15.
Propositio 1. Jos kaksi ympyrää sivuavat toisiaan pisteessä ja jos ja ovat niissä yhdensuuntaiset halkaisijat, niin on suora. Propositio 2. Olkoon puoliympyrän halkaisija, ja olkoot siihen piirretyt tangentit pisteissä ja jossakin toisessa pisteessä niin, että ne leikkaavat toisensa pisteessä . Jos nyt piirretään kohtisuoraan :tä vastaan ja jos ja leikkaavat toisensa pisteessä , niin
Propositio 3. Olkoon mikä tahansa piste ympyrän segmentissä, jonka kanta on , ja olkoon kohtisuorassa :tä vastaan. Valitaan piste suoralla siten, että . Jos nyt on kaari, joka on yhtä suuri kuin kaari , ja jos yhdistetään, niin ja ovat yhtä suuret. Propositio 4. Jos on puoliympyrän halkaisija ja mikä tahansa piste :llä, ja jos puoliympyröitä piirretään alkuperäisen puoliympyrän sisään käyttäen halkaisijoina ja , niin kolmen puoliympyrän kehien rajaama kuvio on se, “mitä Arkhimedes kutsui nimellä arbēlos (, ’suutarin veitsi’)”; ja sen pinta-ala on yhtä suuri kuin sen ympyrän pinta-ala, jonka halkaisija on , missä on kohtisuorassa :tä vastaan ja leikkaa alkuperäisen puoliympyrän pisteessä . Propositio 5. Olkoon puoliympyrän halkaisija, mikä tahansa piste :llä ja kohtisuora siihen. Kuvattakoon alkuperäisen puoliympyrän sisään puoliympyrät, joiden halkaisijoina ovat ja . Jos tällöin piirretään kaksi ympyrää, jotka koskettavat :tä sen eri puolilta ja kumpikin koskettaa kahta puoliympyrää, niin nämä ympyrät ovat yhtä suuret. Propositio 6. Olkoon , puoliympyrän halkaisija, jaettu pisteessä siten, että (tai missä tahansa muussa suhteessa). Kuvattakoon alkuperäisen puoliympyrän sisään puoliympyrät, joiden halkaisijoina ovat ja , ja oletettakoon, että piirretty ympyrä koskettaa kaikkia kolmea puoliympyrää. Jos on tämän ympyrän halkaisija, on löydettävä :n ja :n välinen suhde. Propositio 7. Jos neliön ympärille piirretään ympyrä ja sisään toinen ympyrä, niin ympäröivä ympyrä on kaksinkertainen sisempään ympyrään nähden. Propositio 8. Jos on mikä tahansa jänne ympyrässä, jonka keskipiste on , ja jos jatketaan pisteeseen siten, että on yhtä suuri kuin säde, ja jos edelleen leikkaa ympyrän pisteessä ja sitä jatketaan leikkaamaan ympyrä toistamiseen pisteessä , niin kaari on kolme kertaa niin suuri kuin kaari . Propositio 9. Jos ympyrässä kaksi jännettä ja , jotka eivät kulje keskipisteen kautta, leikkaavat toisensa suorassa kulmassa, niin
Propositio 10. Oletetaan, että ja ovat kaksi ympyrän tangenttia ja että leikkaa sen. Olkoon jänne pisteen kautta ja yhdensuuntainen :n kanssa, ja olkoon :n ja :n leikkauspiste . Jos nyt piirretään kohtisuoraan :tä vastaan, se puolittaa sen pisteessä . Propositio 11. Jos kaksi ympyrän jännettä ja leikkaavat toisensa suorassa kulmassa pisteessä , joka ei ole keskipiste, niin . Propositio 12. Jos on puoliympyrän halkaisija ja ja tangentit siihen mistä tahansa pisteestä , ja jos ja yhdistetään ja ne leikkaavat toisensa pisteessä , niin on kohtisuorassa :tä vastaan. Propositio 13. Jos ympyrän halkaisija leikkaa minkä tahansa jänteen , joka ei ole halkaisija, pisteessä , ja jos ja piirretään kohtisuoraan :tä vastaan, niin
Propositio 14. Olkoon puoliympyrä, jonka halkaisija on , ja olkoot ja yhtä pitkät osuudet mitattuina :tä pitkin pisteistä ja . Kuvataan ja halkaisijoina puoliympyrät puoliympyrän puolelle, ja halkaisijana puoliympyrä vastakkaiselle puolelle. Olkoon alkuperäisen puoliympyrän keskipisteen kautta :tä vastaan kohtisuora suora, joka leikkaa vastakkaiset puoliympyrät pisteissä ja . Tällöin kaikkien puoliympyröiden kehien rajaaman kuvion (”jota Arkhimedes kutsuu nimellä salinon ()”) pinta-ala on yhtä suuri kuin sen ympyrän pinta-ala, jonka halkaisija on . Propositio 15. Olkoon ympyrän halkaisija, siihen piirretyn säännöllisen viisikulmion sivu ja kaaren keskipiste. Yhdistetään ja jatketaan sitä leikkaamaan :n jatke pisteessä ; yhdistetään ja , jotka leikkaavat toisensa pisteessä , ja piirretään kohtisuoraan :tä vastaan. Tällöin
Lähteet
Kirjallisuutta
Archimedes: Book of Lemmas. Teoksessa
Aiheesta muualla
Luokka:Arkhimedeen teokset Luokka:Geometria