oikea|pienoiskuva|Involuutio on funktio f : X → X, joka kahdesti sovellettuna tuottaa alkuperäisen argumenttinsa: f(f(x))=x. Involuutio on matematiikassa funktio f, joka on oma käänteisfunktionsa eli
f(f(x)) = x
kaikille x funktion f määrittelyjoukossa.
Kompleksisessa algebrassa involuutio määritellään suppeammin: kuvaus * on involuutio, jos se ehdon lisäksi täyttää myös ehdot , ja Involuutiolla * varustettua algebraa sanotaan *-algebraksi. Esimerkiksi matriisin hermitointi täyttää nämä tiukemmatkin ehdot.
Yleiset ominaisuudet Mikä tahansa involuutio on bijektio.
Minkä tahansa joukon permutaatioista osa on involuutioita. Joukossa, jossa on n alkiota, involuutioiden lukumäärä an voidaan laskea induktiivisesti seuraavasti:
a0 = a0 = 1; an = an-1 + (n-1)an-2.
Luvuille n=0, 1, … 6 nämä involuutioiden lukumäärät ovat 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76 ja 232. Nämä lukumäärät muodostavat .
Esimerkkejä Identiteettikuvaus on triviaali esimerkki involuutiosta.
Esimerkkejä ei-triviaaleista involuutioista ovat
Luvun vastaluvun ( x ↦ − x ), käänteisluvun ottaminien ( x ↦ 1/ x ) kompleksiluvun kompleksikonjugaatio ( ↦ ) peilaus, puolikierrosrotaatio ja ympyrän inversio geometriassa; komplementaatio joukko-oppissa ja resiprookkisalaukset, kuten ROT13- muunnos ja Beaufortin polyalfabeettinen salaus.
Kahden involuution f ja g kompositio g ∘ f on involuutio jos ja vain jos ne kommutoivat : g ∘ f = f ∘ g .
Viitteet
Katso myös Idempotenssi ROT13 Luokka:Funktiot