Sarakeavaruus on matriisin sarakkeiden virittämä vektoriavaruuden aliavaruus. Se koostuu kaikista vektoreista, jotka voidaan esittää matriisin sarakkeiden lineaarikombinaatioina. Sarakeavaruus liittyy läheisesti lineaarikuvauksen kuvaan, ja se kertoo, mitkä vektorit voidaan saavuttaa matriisin avulla.
Määritelmä Olkoon A m×n-matriisi, jonka sarakkeet ovat vektoreita . Matriisin sarakeavaruus määritellään seuraavasti:
Toisin sanoen sarakeavaruus koostuu kaikista vektoreista , joille matriisiyhtälöllä on olemassa ratkaisu.
Esimerkki Olkoon
Tällöin matriisin sarakkeet ovat vektorit ja . Sarakeavaruus on näiden kahden vektorin virittämä aliavaruus :
Ominaisuuksia Sarakeavaruus on aliavaruus avaruudessa . Sarakeavaruuden dimensio, eli sen ulottuvuus, on yhtä suuri kuin matriisin sarakeranki – suurin määrä matriisin sarakkeita, jotka ovat keskenään lineaarisesti riippumattomia. Matriisin sarakeavaruus on sama kuin sitä vastaavan lineaarikuvauksen kuva-avaruus. Matriisin transpoosin sarakeavaruus on alkuperäisen matriisin riviavaruus.
Yhteydet muihin käsitteisiin Yhtälöllä on ratkaisu täsmälleen silloin, kun . Sarakeavaruuden ortogonaalinen komplementti on matriisin transpoosin nolla-avaruus: . Sarakeavaruus vastaa lineaarikuvauksen kuvaa, eli kaikkia mahdollisia tuloksia.
Katso myös Riviavaruus Nolla-avaruus Ydin (lineaarikuvaus) Lineaarikuvaus Matriisin aste
Lähteet OpenStax: Column Space and Null Space. Viitattu 25.6.2025.
Kirjallisuutta Heinonen, Vesa & Väänänen, Risto: Lineaarialgebra. Gaudeamus, 2001. Nevanlinna, Olli & Nevanlinna, Rolf: Lineaarialgebra ja geometria. Otatieto, 1980. Strang, Gilbert: Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 2016.
Luokka:Lineaarialgebra