Moniulotteinen normaalijakauma on todennäköisyysteoriassa ja tilastotieteessä yksiulotteisen normaalijakauman yleistys moneen ulottuvuuteen. Eräs määritelmä jakaumalle on seuraavanlainen: k-ulotteinen satunnaisvektori on normaalijakautunut, jos jokainen lineaarikombinaatio sen k:sta komponentista on normaalijakautunut. Jakauman tärkeys perustuu keskeisen raja-arvolauseen yleistyksestä moneen ulottuvuuteen.
Määritelmät Merkintätapa ja parametrisointi Kun k-ulotteisen satunnaisvektorin sanotaan olevan normaalijakautunut, merkitään tätä:
,
missä meillä on k-ulotteinen keskiarvovektori
ja symmetrinen -ulotteinen kovarianssimatriisi
siten, että ja . Kovarianssimatriisin käänteismatriisia kutsutaan tarkkuusmatriisiksi.
Tiheysfunktio Epäsingulaarinen tapaus Moniulotteisen normaalijakauman sanotaan olevan epäsingulaarinen, kun kovarianssimatriisi on positiivisesti semidefiniitti ja täten kääntyvä. Tällöin jakauman tiheysfunktio voidaan kirjoittaa muodossa:
Mikäli on skalaari, redusoituu yllä oleva yhtälö yhden muuttujan normaalijakaumaksi.
Singulaarinen tapaus Moniulotteisen normaalijakauman sanotaan olevan singulaarinen, kun kovarianssimatriisi ei ole täysiasteinen. Tällöin jakaumalle ei voida määrittää tiheysfunktiota k-ulotteisen Lebesguen mitan suhteen. Mikäli integraalimitaksi valitaan Lebesguen mitan rajoitus siihen -ulotteiseen affiiniin aliavaruuteen avaruudessa , jolla jakauma on määritelty, voidaan tiheysfunktio kirjoittaa muodossa:
missä on kovarianssimatriisin yleistetty käänteismatriisi ja on pseudodeterminantti.
Lähteet
Kirjallisuutta
Luokka:Todennäköisyysjakaumat