Matematiikassa topologisen avaruuden sanotaan olevan σ-kompakti, jos se on numeroituvan monen kompaktin aliavaruuden yhdiste.Steen, p. 19; Willard, p. 126.

Avaruuden sanotaan olevan σ-paikallisesti kompakti, jos se on sekä σ-kompakti että paikallisesti kompakti. Steen, p. 21.

Ominaisuuksia ja esimerkkejä Jokainen kompakti avaruus on σ-kompakti ja jokainen σ-kompakti avaruus on Lindelöf (eli jokaisella avoimella kannella on numeroituva alipeite).Steen, p. 19. Käänteiset implikaatiot eivät päde, esimerkiksi tavallinen euklidinen avaruus (Rn) on σ-kompakti mutta ei kompakti, Steen, p. 56. ja alarajatopologia reaalilukujen joukossa on Lindelöf mutta ei σ -kompakti. Steen, p. 75–76. Itse asiassa numeroituvan komplementin topologia missä tahansa ylinumeroituvassa joukossa on Lindelöf mutta ei σ-kompakti eikä paikallisesti kompakti. Steen, p. 50. Silti jokainen paikallisesti kompakti Lindelöf-avaruus on σ-kompakti. Hausdorff-avaruus, joka on myös Baire-avaruus ja σ-kompakti, on paikallisesti kompakti vähintään yhdessä pisteessä. Jos G on topologinen ryhmä ja G on paikallisesti kompakti yhdessä pisteessä, niin G on paikallisesti kompakti kaikkialla. Siksi edellinen ominaisuus kertoo, että jos G on σ -kompakti, Hausdorffin topologinen ryhmä, joka on myös Bairen avaruus, niin G on lokaalisti kompakti. Tämä osoittaa, että Hausdorffin topologisissa ryhmissä, jotka ovat myös Baire-avaruuksia, σ -kompaktisuus tarkoittaa paikallista kompaktisuutta. Edellinen ominaisuus viittaa esimerkiksi siihen, että Rω ei ole σ-kompakti: jos se olisi σ -kompakti, se olisi välttämättä paikallisesti kompakti, koska Rω on topologinen ryhmä, joka on myös Bairen avaruus. Jokainen puolikompakti avaruus on σ-kompakti. Willard, p. 126. Käänteinen implikaatio ei päde; esimerkiksi rationaalilukujen joukko tavanomaisella topologialla on σ-kompakti mutta ei puolikompakti. Äärellisen määrän σ-kompakteja avaruuksia tulo on σ-kompakti. Kuitenkin äärettömän määrän σ-kompakteja tiloja tulo ei välttämättä ole σ-kompakti. σ-kompakti avaruus X on toista kategoriaa (vastaavasti, Baire), jos ja vain jos niiden pisteiden joukko, joissa X on paikallisesti kompakti, on epätyhjä (vastaavasti, tiheä X:ssä). Willard, p. 188.

Katso myös

Lokaalisti kompakti avaruus Lindelöfin avaruus

Lähteet Steen, Lynn A. ja Seebach, J. Arthur Jr .; Vastaesimerkkejä julkaisussa Topology, Holt, Rinehart ja Winston (1970). .

Viitteet

Luokka:Topologia