thumb| Luvun x kuutiojuuri (merkitään tai x1/3) on luku a niin, että a korotettuna kolmanteen potenssiin on x. Esimerkiksi luvun kuutiojuuri on
sillä
Kuutioluku on kokonaisluku, jonka kuutiojuuri on myös kokonaisluku.
Geometrisia sovelluksia
Jos kuution tilavuus V tunnetaan, kuution särmän pituus on tämän tilavuuden kuutiojuuri, .
Kompleksiluvun kuutiojuuri
Kuutiojuuren käsite voidaan yleistää myös kompleksiluvuille. Jokaista kompleksilukua x + yi kohti, nollaa lukuun ottamatta, on kolme sellaista kompleksilukua u + vi, joiden kuutio on x + yi. Esimerkiksi kompleksiluvun 1 (=1 + 0i) kuutiojuuret ovat , ja . Kuutiojuuren pääarvoksi sanotaan sitä juurta, jolla on itseisarvoltaan pienin argumentti.
Useimmissa tapauksissa kompleksiluvun x+yi kuutiojuuren arvojen reaali- ja imaginaariosia u ja v ei kuitenkaan voida esittää x:n ja y:n algebrallisena lausekkeena. Sen sijaan ne voidaan määrittää trigonometristen funktioiden ja De Moivren kaavan avulla.
Tämä perustuu siihen, että kompleksiluku voidaan esittää myös napakoordinaateissa, sen itseisarvon (moduulin, r) ja vaihekulman (argumentin, ) avulla:
,
missä ja .
Geometrisesti kompleksiluvun moduuli merkitsee sen kompleksitasolla olevan vastinpisteen etäisyyttä origosta, argumentti taas origosta kyseiseen pisteeseen johtavan suoran ja reaaliakselin (x-akselin) välistä kulmaa.
De Moivren kaavan mukaan
, ja erityisesti
josta saadaan kääntäen:
Toisin sanoen kompleksiluvun kuutiojuuren moduuli on alkuperäisen kompleksiluvun x + bi moduulista ja argumentti kolmasosa alkuperäisen kompleksiluvun argumentista. Näin saadaan kuutiojuuren pääarvo. Kun kompleksiluvun argumenttiin kuitenkin voidaan lisätä tai vähentää mikä tahansa 2:n monikerta tahansa kompleksiluvun arvon pysyessä ennallaan, on kaksi muutakin kompleksilukua, joiden kuutio on sama, nimittäin:
ja
Näin saadaan kompleksiluvun x + yi kuutiojuurille lausekkeet:
, ja .
Katso myös Kuutio (algebra) Neliöjuuri Kuution kahdentaminen Juuri (laskutoimitus)
Lähteet
Luokka:Algebra