thumb|270px|Kuva 1. Tässä Mona Lisaa esittävässä kuvassa kuvaa on muutettu siten, että sen pystysuoraan keskustasta osoittava vektori ei muutu. (Huomaa, että kulmat ovat muuttuneet oikeanpuoleisessa kuvassa.) Sininen vektori, rinnasta olkapäähän, on muuttanut suuntaa, mutta punainen, rinnasta leukaan on pysynyt samana. Punainen vektori on siten muunnoksen ominaisvektori, mutta sininen ei ole. Koska punaisen vektorin pituus ei ole muuttunut, sen ominaisarvo on yksi. Kaikki saman y-koordinaatin omaavat pystysuorat vektorit ovat myös ominaisvektoreita. Ne muodostavat kyseisen ominaisvektorin ominaisavaruuden.
Ominaisarvo, ominaisvektori ja ominaisavaruus ovat alun perin lineaarialgebran piirissä kehitettyjä toisiinsa verrattavia käsitteitä. Olkoon A annettu vektoriavaruuden V lineaarikuvaus. A:n ominaisvektori on vektori v, jonka suunta ei muutu kuvauksessa A. Kerrointa, jolla kuvavektori kutistuu tai kasvaa tässä kuvauksessa, sanotaan vektorin ominaisarvoksi. Usein kuvaus voidaan luonnehtia kokonaan ominaisarvojensa ja ominaisvektoreidensa avulla. Ominaisavaruus on joukko ominaisvektoreita joilla on sama ominaisarvo.
Matriisin ominaisarvojen summaa kutsutaan matriisin jäljeksi (trace). Ominaisarvojen tulo vastaa matriisin determinanttia.
Nämä käsitteet ovat merkittävässä roolissa useilla puhtaan ja sovelletun matematiikan osa-alueilla, kuten lineaarialgebrassa, funktionaalianalyysissä ja jopa useissa epälineaarisissa tilanteissa.
Määritelmät
Avaruuden muunnokset, kuten translaatio, rotaatio, peilaus ja homotetia, tai näiden yhdisteet, voidaan havainnollistaa graafisesti näyttämällä miten ne muuntavat vektoreita. Vektorit voidaan havainnollistaa koordinaatistossa nuolin, jotka osoittavat yhdestä pisteestä toiseen.
Muunnoksen ominaisvektorit ovat vektoreita, joiden suunta ei muutu muunnoksessa. Ominaisvektorin ominaisarvo on muunnoksen skaalauskerroin, eli kuvavektorin pituus jaettuna alkuperäisen vektorin pituudella. Ominaisavaruus sisältää kaikki ne ominaisvektorit, joilla on sama ominaisarvo. Ominaisvektorin geometrinen kertaluku on vastaavan ominaisavaruuden dimensio. Muunnoksen spektri on sen ominaisarvojen muodostama joukko.
Esimerkiksi kolmiulotteisen avaruuden rotaatio on vektori, joka sijaitsee sillä rotaatioakselilla, minkä suhteen rotaatio suoritetaan. Vastaava ominaisarvo on yksi ja vastaava ominaisavaruus sisältää kaikki vektorit jotka ovat yhdensuuntaisia tämän akselin kanssa. Tässä yksiulotteisessa avaruudessa avaruuden geometrinen kertaluku on yksi. Vastaavasti spektri koostuu vain yhdestä reaaliluvusta.
Esimerkkejä Kun Maa pyörähtää akselinsa ympäri, muuttuu myös Maan keskipisteestä alkavan vektorin suunta, mikäli vektori ei osoita samaan suuntaan kuin pyörähdysakseli tai ole nollavektori. Tarkastellaan Maan pyörähtämistä tunnin välein. Nyt huomataan, että ainoastaan Maan napoihin osoittavat vektorit pysyvät koko ajan paikoillaan, joten vain ne ovat muunnoksen ominaisvektorit. Lisäksi vektorin pituus pysyy koko ajan muuttumattomana, joten sen ainoa ominaisarvo on 1.
Toinen fysikaalinen esimerkki saadaan kun janan yksi piste kiinnitetään ja jana venytetään pituudeltaan kaksinkertaiseksi. Tämän muunnoksen ominaisarvo on 2. Jokainen vektori kiinnitetystä pisteestä janan mielivaltaiseen pisteeseen on ominaisvektori ja ominaisavaruus on näiden vektorien muodostama joukko.
thumb|270px|Kuva 2. Narun seisova aalto voidaan ajatella esimerkkinä ominaisvektorista. Eri aikoina seisova aalto on skaalautunut, mutta sen muoto ei ole muuttunut. Tässä narun ominaisarvot riippuvat ajasta.
Ominaisarvoyhtälö
Ominaisarvoyhtälö on matriisin ominaisarvoista muodostettu polynomiyhtälö. Sen ratkaisuna saadaan matriisin ominaisvektorit, jotka ovat käyttökelpoisia monissa sovelluksissa.
Olkoon vλ :n ominaisvektori ja λ sitä vastaava ominaisarvo. Tällöin ominaisarvoyhtälö on määritelmän mukaan , missä on vektori, joka saadaan kun muunnosta sovelletaan vektoriin vλ.
Olkoon lineaarikuvaus. Tarkastellaan tämän vektoriavaruuden kantaa. Tällöin ja vλ voidaan esittää matriisien avulla tämän kannan suhteen. Matriisiesityksen mukaan on tällöin voimassa , missä kertolaskuna on matriisien kertolasku. Tämä on yhtäpitävää n lineaarisen yhtälön kanssa, missä n on kannan vektoreiden lukumäärä. Tässä yhtälössä sekä ominaisarvo λ, että v:n n komponenttia ovat tuntemattomia.
Ominaisfunktio Toisinaan on kuitenkin mahdotonta kirjoittaa ominaisarvoyhtälö matriisimuotoon. Tämä tilanne on esimerkiksi silloin, kun vektoriavaruus on ääretönulotteinen. Muunnoksesta ja avaruudesta, mihin muunnosta sovelletaan, riippuen voidaan ominaisarvoyhtälö esittää differentiaaliyhtälönä. Jos on differentiaalioperaattori, kutsutaan ominaisvektoreita yleensä differentiaalioperaattorin ominaisfunktioiksi. Esimerkiksi derivointi on lineaarinen muunnos, joten sen avulla voidaan muodostaa differentiaalioperaattori.
Tarkastellaan derivointia ajan suhteen. Nyt sen ominaisfunktiot toteuttavat ominaisyhtälön , missä λ on funktion ominaisarvo. Tällainen ajan funktio on vakio jos λ=0, kasvava jos λ on positiivinen ja vähenevä jos λ on negatiivinen. Esimerkiksi kanien ideaalipopulaatiomalleissa jäniskanta lisääntyy sitä voimakkaammin, mitä enemmän jäniksiä on, joten tässä tapauksessa parametri λ on positiivinen.
Ominaisarvoyhtälön ratkaisu on N=eλt, eli funktio on differentiaalioperaattorin d/dt ominaisfunktio ominaisarvonaan λ. Jos λ on negatiivinen, ratkaisua kutsutaan eksponentiaalisesti väheneväksi, muutoin eksponentiaalisesti kasvavaksi. λ:n arvo voi olla mikä tahansa kompleksiluku. Operaattorin d/dt spektri on siten koko kompleksitaso. Tässä esimerkissä vektoriavaruus, missä operaattori d/dt toimii, on derivoituvien yksimuuttujisten funktioiden avaruus. Tämän avaruuden dimensio on ääretön, sillä ei ole mahdollista ilmaista kaikkia derivoituvia funktioita äärellisen monen kannan funktion lineaarisena yhdisteenä. Kuitenkin annettua ominaisarvoa λ vastaa yksiulotteinen ominaisavaruus. Se on kaikkien funktioiden N=N0eλt, missä N0 on mielivaltainen vakio, muodostama joukko. Alkuarvo saadaan sijoittamalla yhtälöön t=0.
Spektrilause
Spektrilauseessa kuvastuu ominaisarvojen ja -vektoreiden käyttökelpoisuus karakterisoida lineaarinen muunnos yksikäsitteisesti. Yksinkertaisimmassa muodossaan spektrilause sanoo, että tietyillä ehdoilla vektorin lineaarinen muunnos voidaan esittää lineaarikombinaationa ominaisvektoreista, joiden kertoimet saadaan kertomalla vektorin ominaisarvot skalaarilla ja ottamalla tästä tuloksesta pistetulo sen vektorin kanssa, johon lineaarista muunnosta sovelletaan. Matemaattisesti tämä voidaan kirjoittaa muodossa
,
missä ja tarkoittavat :n ominaisvektoreita ja -arvoja. Yksinkertaisimmat tapaukset, jossa lause on voimassa, on tapaus missä lineaarinen muunnos on annettu reaaliluvun ja symmetrisen matriisin avulla tai kompleksiluvun ja hermiittisen matriisin avulla.
Jos määritellään muunnoksen n:s potenssi suorittamalla muunnosta n kertaa peräkkäin, saadaan määriteltyä muunnoksen polynomit. Yleisempi versio lauseesta on, että jokainen :n polynomi on muotoa
Lause voidaan yleistää myös muille funktioille kuin polynomeille, kuten esimerkiksi analyyttisille funktioille ja Borelin funktioille.
Matriisin ominaisarvojen ja -vektoreiden laskeminen Oletetaan, että haluamme laskea annetun matriisin ominaisarvot. Nämä voidaan laskea karakteristisen polynomin avulla jos matriisi on pieni. Suurilla matriiseilla polynomin juurten tarkkojen arvojen laskenta on usein mahdotonta, jolloin on käytettävä numeerisia menetelmiä. Tämä siksi, että ominaisarvoyhtälö on tällöin korkeampaa kuin neljättä astetta ja Abelin-Ruffinin lauseen mukaan tällaiselle polynomiyhtälölle ei ole olemassa yleistä ratkaisukaavaa.
Symbolinen laskenta
Ominaisarvojen selvittäminen Karakteristinen polynomi on tärkeä työkalu neliömatriisin ominaisarvojen selvittämisessä. λ on annetun neliömatriisin A ominaisarvo vain jos lineaarisella yhtälöryhmällä (A – λI) v = 0 (I on yksikkömatriisi) on nollavektorista poikkeava ratkaisu v, jota kutsutaan A:n ominaisvektoriksi. Koska yhtälöllä on olemassa nollasta eroava ratkaisu v vain jos matriisin determinantti on nolla, saadaan ominaisarvot yhtälöstä
.
Yhtälö p(λ) = det(A – λI) on polynomiaalinen λ:n suhteen, sillä determinantit ovat määritelmän mukaan summia tuloista. Tämä on A:n karakteristinen polynomi; matriisin ominaisarvot ovat sen karakteristisen polynomin nollakohtia.
Matriisin A kaikki ominaisarvot saadaan ratkaisemalla yhtälö . Jos A on n×n-matriisi, on n:ttä astetta ja A:lla voi olla siten korkeintaan n ominaisarvoa. Toisaalta, algebran peruslauseen mukaan tällä yhtälöllä on täsmälleen n juurta, kun juurien kertaluvut otetaan huomioon. Kaikilla paritonasteisilla reaalipolynomeilla on reaalijuuri, joten n×n-matriiseilla on aina vähintään yksi ominaisvektori kun n on pariton. Funktioteorian perusteista seuraa myös, että reaalimatriisin epäreaaliset ominaisarvot esiintyvät toistensa konjugaattipareina.
Ominaisvektoreiden muodostaminen Kun ominaisarvot λ tiedetään, ominaisvektorit saadaan ratkaisemalla yhtälö
.
Esimerkki neliömatriisista, jolla ei ole reaalisia ominaisarvoja, on 90 asteen kierto myötäpäivään:
, jonka karakteristinen polynomi on . Tämän polynomin nollakohdat ovat toistensa kompleksikonjugaatit i ja -i. Siten reaalisia ominaisvektoreita ei ole.
Numeerinen laskenta Käytännössä suurten matriisien ominaisarvoja ei lasketa karakteristisen polynomin avulla. Polynomin laskeminen itsessään on työlästä ja polynomin juuren tarkkaa arvoa ei ole aina mahdollista selvittää. Juurten approksimointiin on kehitetty tehokkaita numeerisia algoritmeja, mutta pienetkin numeeriset virheet voivat kasaantua, jolloin matriisin oikeat ominaisvektorit voivat olla todellisuudessa hyvinkin erilaisia numeerisiin tuloksiin verrattuna. Siten ominaisarvoja lasketaankin käytännössä iteratiivisillä menetelmillä. Yksinkertaisin menetelmä on ns. potenssimenetelmä: valitaan satunnaisesti vektori v ja lasketaan yksikkövektorit , , , ... Tämä jono suppenee lähes aina kohti itseisarvoltaan suurinta ominaisarvoa vastaavaa ominaisvektoria. Tämä algoritmi on helppo toteuttaa, mutta ei ole aina käytännöllinen. Kuitenkin suositut numeeriset lineaarialgebran algoritmit, kuten QR-algoritmi, perustuu tähän.
Algebrallinen kertaluku Matriisin A ominaisarvon λ algebrallinen kertaluku on λ:n kertaluku A:n karakteristisen polynomin nollakohtana. Tosin sanoen jos λ on eräs polynomin juuri, sen kertaluku on karakteristisen polynomin tekijöihinjaossa esiintyvän termien (x − λ) lukumäärä. n×n-matriisilla on n ominaisarvoa algebrallinen kertaluku huomioon ottaen, koska n×n-matriisien karakteristinen polynomi on n:ttä astetta. Ominaisarvoa kutsutaan yksinkertaiseksi jos sen algebrallinen kertaluku on 1.
Matriisilaskennan oppikirjoissa saattaa törmätä seuraavanlaiseen lauseeseen: "Matriisin A ominaisarvot ovat 4, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 1." Tämä tarkoittaa sitä, että ominaisarvon 4 algebrallinen kertaluku on 2, ominaisarvon 3 kertaluku on 3, kahden kertaluku on kaksi ja yhden yksi. Tämäntyyppinen kirjoitusasu on käytössä, sillä algebrallinen kertaluku on oleellinen käsite monissa matriisilaskennan tulosten todistuksissa.
Algebrallinen kertaluku voidaan myös ajatella dimensiona. Se voidaan ajatella yleistettynä ominaisavaruutena, joka on matriisin (λI − A)k nolla-avaruus kaikilla riittävän suurilla k. Se on siis yleistettyjen ominaisvektoreiden avaruus, missä yleistetty ominaisvektori on mikä tahansa vektori, joka kuvautuu nollaksi jos vektori kerrotaan matriisilla λI − A riittävän monta kertaa. Ominaisvektori on yleistetty ominaisvektori, joten jokainen ominaisavaruus sisältyy vastaavaan yleistettyyn ominaisvektoriin. Tämän ominaisuuden perusteella voidaan todistaa, että ominaisarvon geometrinen kertaluku on aina korkeintaan yhtä suuri kuin algebrallinen kertaluku. Tätä ei tule sekoittaa yleistettyyn ominaisarvo-ongelmaan.
Esimerkki: Olkoon