Todennäköisyydet generoiva funktio (lyhennetään joskus tgf) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumasta määritelty funktio, jonka avulla voidaan laskea jakauman todennäköisyyksiä ja tekijämomentteja.
Todennäköisyydet generoiva funktio voidaan määritellä sekä diskreeteille- että jatkuville satunnaismuuttujille. Se on kuitenkin käytännöllisempi diskreeteille satunnaismuuttujille, jonka tuloksia esitellään tässä.
Määritelmä Todennäköisyydet generoiva funktio on odotusarvo
Diskreetti satunnaismuuttuja Diskreetille satunnaismuuttujalle generoiva funktio on potenssisarja
jonka eri asteisten potenssien kertoimet ovat pistetodennäköisyysfunktion arvoja eri satunnaismuuttujan arvoille . Muuttuja on usein reaaliluku, mutta se voi olla myös kompleksiluku, sillä kaikki tarvittavat matemaattiset ominaisuudet periytyvät myös sille. Laittamalla muuttujan arvoksi nolla, voidaan funktion derivaatoista poimia esille todennäköisyydet ja arvolla yksi, laskea niistä erilaisia summia.
Potenssisarja suppenee yleisesti reaaliluvuilla vain, jos . Siten arvo on sallittu arvo. Sen sijaan arvo ei välttämättä käy, sillä sarja ei silloin suppene yleisessä tapauksessa. Potenssisarjalla saattaa kuitenkin olla olemassa sarjan raja-arvo, kun ykköstä lähestytään vasemmalta päin. Jos näin on, niin raja-arvoa voidaan ilmaista miinus-merkillä
Todennäköisyyslaskennassa alueen voi laajentaa , sillä summassa olevien todennäköisyyksien summa on aina yksi. Monissa teksteissä merkitään siksi . Merkintää sovelletaan tässä myös derivaatoille.
Jatkuva satunnaismuuttuja Jatkuvalle satunnaismuuttujalle generoiva funktio määritetään
Ominaisuuksia Funktion arvo: G(0) Yleisessä tapauksessa, missä , saadaan
Erityistapauksessa, jossa ja niiden todennäköisyydet vastaavasti , tulee generoivasta funktiosta
josta saadaan
kunhan
Funktion arvo: G(1-) Yleisessä tapauksessa, missä , saadaan
sillä satunnaismuuttujan kaikkien arvojen todennäköisyyksien summa on aina yksi.
Riippumattomat satunnaismuuttujat Jos muodostetaan uusi satunnaismuuttuja kahdesta riippumattomasta satunnaismuuttujasta ja merkitsemällä , voidaan uusi generoiva funktio muodostaa vanhojen avulla
Momentit generoiva funktio Satunnaismuuttujan momentit generoiva funktio on odotusarvo
Momenttifunktio voidaan kirjoittaa todennäköisyydet generoivan funktion avulla
Tekijämomentit Sarjan derivointi suoritetaan jokaiselle sarjan termille yksittäin seuraavasti:
Ensimmäisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa
ja sen arvo ykkösessä antaa
eli tuloksena on satunnaismuuttujan odotusarvo. Toisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa
ja sen arvo ykkösessä on
eli satunnaismuuttujan toinen tekijämomentti. Odotusarvo voidaan tulkita siten ensimmäiseksi tekijämomentiksi. Yleisesti, kun on otettu r:s derivaatta, saadaan
eli r:s tekijämomentti.
Todennäköisyysarvot Erityistapauksessa, jossa ja niiden todennäköisyydet vastaavasti , saadaan derivaatoista määritetty pistetodennäköisyydet . Generoiva funktio on nyt
ja sen ensimmäinen derivaatta on
Sijoittamalla siihen saadaan
kun tilanteessa "" huomataan Toinen derivaatta antaa
ja sijoittamalla taas saadaan
Pienellä päättelyllä saadaan todennäköisyydet laskettua
Tästä lausekkeesta voidaan ymmärtää funktion nimi: todennäköisyydet generoiva funktio.
Esimerkki: noppa Noppapeleissä käytetään arpakuutiota, jolla arvotaan kuusi lukua 1−6 ja jonka eri lukujen todennäköisyydet ovat yhtä todennäköisiä (eli noppa antaa luvun todennäköisyydellä . Muodostetaan todennäköisyydet generoiva funktio
jolla on ominaisuus
eli todennäköisyyksien summa on yksi.
Koska todennäköisyydet ovat samat ja muualla nolla, on sarja itse asiassa summa:
Tekijämomentit ja varianssi Derivaatta kohdassa yksi on
ja
(odotusarvo)
Toinen derivaatta kohdassa yksi on
ja (ensimmäinen tekijämomentti)
Huomaa, miten saadaan varianssi näistä kahdesta tuloksesta
Lähteet
Aiheesta muualla Cut the Knot's: Probability generating functions
Luokka:Todennäköisyyslaskenta