Beta-jakauma eli jakauma on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jota käytetään bayesilaisessa todennäköisyyslaskennassa. Koska Beta-jakaumaa voi parametrisoida monella eri tavalla, sitä voidaan kutsua jakaumaperheeksi. Sen avulla voidaan esittää lähes kaikki äärelliselle välille konsentroituneet jakaumat.
Jos satunnaismuuttuja on Beta-jakautunut parametreillä ja , merkitään se yleensä
Todennäköisyysjakauma Satunnaismuuttujalla , joka on Beta-jakautunut ja jolla perusjoukko on [0,1], on kaksi positiivista parametria ja . Niiden avulla Beta-jakauman tiheysfunktio määritellään
missä niin sanottu beta-funktio on
jossa taas on gammafunktio. Beta-funktion tarkoituksena on "normalisoida" beta-jakauma niin, että sen tiheysfunktion määrätty integraali koko reaalialueen yli on tasan yksi.
Toisinaan joskus parametrien arvoista vähennetään yksi ( ja ), jotta tiheysfunktion ja momenttifunktion kaavat yksinkertaistuisivat hieman.
Beta-jakauman tiheysfunktiolla on seuraavanlaisia ominaisuuksia: kaikilla Jos ja , niin on aidosti kasvava ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä Jos ja , niin on aidosti vähenevä ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä Jos ja , niin on yksihuippuinen ja sen maksimikohta on välin sisäpisteessä Jos ja , niin on U:n muotoinen ja sillä on lokaalit maksimikohdat on välin päätepisteissä ja on symmetrinen, jos
Beta-jakauman kertymäfunktion lauseketta ei ole mahdollista kirjoittaa eksplisiittiseen muotoon, koska sen tiheysfunktion integraalifunktiota ei voi kirjoittaa lausekkeeksi alkeisfunktioiden avulla. Ne onkin tapana esittää vain numeerisessa muodossa aivan kuten toimitaan normaalijakaumassakin.
Tunnusluvut ja momentit Momenttifunktio Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä
Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Origomomenttien yleinen muoto on
ja koska gammafunktiolla on , siitä saadaan ensimmäiset momentit
ja
Keskusmomenttien yleinen muoto on
missä on hypergeometrinen funktio.
Ensimmäinen origomomentti voidaan laskea myös suoraan
Tunnuslukuja Jakauman odotusarvo saadaan ensimmäisestä origomomentista
Sen varianssi on taas suoraan toinen keskusmomentti
Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla
Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.
Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla
Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.
Jakauman moodi sijaitsee välin [0,1] sisäpisteessä, kun ja
Jos tai voi moodi sijaita välin päätepisteessä. Kun on jakauma tasajakauma ja kaikki pisteet ovat moodi.
Esimerkkejä Tarkastellaan toistokoetta, jonka yksittäisen kolikonheiton arvoksi voi tulla vain "kruuna" tai "klaava" todennäköisyyksillä ja . Heittojen kokonaismäärän ollessa , noudattaa saatujen kruunujen yhteismäärät binomijakaumaa . Jos halutaan selvittää "kruunan" todennäköisyyttä , kun saadaan "kruunaa", on se Beta-jakautunut .
Edellinen ongelma on perinteisesti ratkaistu käyttäen normaalijakaumaa, mutta Beta-jakauma antaa silloin oikean tuloksen, kun se määritellään
Normaalijakauma antaa harhaisen tuloksen, mikäli toistojen lukumäärä on pieni ja suhde on lähellä arvoa 0 tai 1.
Beta-jakaumaa tulisi käyttää normaalijakauman sijasta approksimoitaessa binomijakaumaa epäsymmetrisissä tiheysjakauman tilanteissa. Esimerkiksi epäsymmetrisessä ja kahta arvoa antavassa satunnaistapauhtumassa kannattaa käyttää diskreetin binomijakauman approksimoimiseksi jatkuvaa Beetta-jakaumaa. Yleensä binomijakaumaa approksimoidaan normaalijakaumalla, mutta se ei toimi kunnolla, kun toista arvoa esiintyy tuntuvasti enemmän kuin toista.
Beta-jakaumaa voidaan käyttää arvioitaessa tasajakaumien arvoja. Arvotaan n satunnaismuuttujalle arvot . Arvot lajitellaan suuruusjärjestykseen, jolloin arvo merkitään uudella tavalla kun se on järjestyksessä i:nnes. (eli < < ... < ). Silloin arvo kun .
Muut jakaumat Beta-jakaumasta saadaan tasajakauma, mikäli parametrit ovat molemmat yksi
Lähteet
Aiheesta muualla
https://noppa.aalto.fi/noppa/kurssi/mat-1.3621/luennot/Mat-1_3621_todennakoisyyslaskennan_kertausta_.pdf http://doingbayesiandataanalysis.blogspot.fi/2012/06/beta-distribution-parameterized-by-mode.html http://users.iems.northwestern.edu/~ajit/beta.pdf http://www.epixanalytics.com/modelassist/CrystalBall/Model_Assist.htm#Distributions/Continuous_distributions/Beta.htm
Luokka:Todennäköisyysjakaumat Luokka:Tilastotiede