Noetherin (ensimmäinen) teoreema sanoo, että jokaiseen fysikaalisen systeemin aktion differentioituvaan symmetriaan liittyy jokin sitä vastaava säilymislaki. Teoreeman todisti saksalainen matemaatikko Emmy Noether vuonna 1915, ja se julkaistiin vuonna 1918. Fysikaalisen systeemin aktio on jonkin sellaisen Langrangen funktion aikaintegraali, jonka avulla systeemin käyttäytyminen voidaan määrittää vähimmän vaikutuksen peri­aatteen avulla. Tällainen Lagrangen funktio itsessään voi olla jonkin Lagrangen tiheysfunktion integraali jonkin avaruuden alueen yli.

Noetherin teoreemasta on tullut perustava työväline nykyisessä teoreettisessa fysiikassa ja variaatiolaskennassa. Se on Lagrangen mekaniikan (vuodelta 1788) ja Hamiltonin mekaniikan (vuodelta 1833) liikevakioiden muotoilun yleistys, eikä se päde systeemeille, joita ei voida mallintaa pelkästään Lagrangen funktiolla, toisin sanoen systeemeillä, joihin liittyy Rayleighin dissipaatiofunktio. Erityisesti häviöllisiin systeemeihin, joilla on jatkuvia symmetrioita, ei välttämättä liity vastaavaa säilymis­lakia.

Esimerkkejä ja tausta

Noetherin teoreeman merkityksen selventämiseksi voidaan esimerkkinä mainita, että jos fysikaalinen systeemi käyttäytyy samalla tavalla riippumatta siitä, miten päin se on suunnattu avaruudessa, sen Lagrangen funktio on rotaatio­symmetrinen. Tästä symmetriasta seuraa Noetherin teoreeman mukaan, että systeemin liikelait ovat sellaiset, että liikemäärämomentti säilyy. Fysikaalisen systeemin itsessään ei tarvitse olla symmetrinen: epä­säännöllisenkin muotoisen asteroidin liike­määrä­momentti säilyy sen liikkuessa avaruudessa, vaikka se kappaleena ei ole symmetrinen — symmetrisiä ovat sen liikelait, ei itse kappale.

Toisena esimerkkinä voidaan mainita, että jos fysikaalisen prosessin tulokset ovat samat riippumatta sen paikasta ja ajasta, tapahtuipa se esimerkiksi Aasiassa tiistaina tai Amerikassa perjantaina, sen Lagrangen funktio on symmetrinen avaruudessa ja ajassa tapahtuvien siirtojen eli translaatioiden suhteen. Noetherin teoreeman mukaan näistä symmetrioista seuraavat vastaavasti liikemäärän säilymislaki ja energian säilymislaki.

Noetherin teoreema on merkittävä sekä sen näkemyksen vuoksi, jonka se antaa säilymislakeihin, että myös käytännöllisenä laskuvälineenä. Se tekee tutkijoille mahdolliseksi määrittää fysikaaliseen systeemiin liittyvät säilyvät suureet (invariantit) sen havaituista symmetrioista. Toisaalta se tekee myös mahdolliseksi käsitellä kokonaisia hypoteettisten Lagrangen funktioiden luokkaa annettujen invarianttien avulla fysikaalisen systeemin kuvaamiseksi. Kuvitellaan esimerkiksi, että löydettäisiin uusi kenttä, jossa jokin suure X säilyy. Noetherin teoreeman avulla voidaan määrittää, minkä tyyppisissä Lagrangen funktioissa X säilyy jatkuvassa symmetrisessä muunnoksessa, minkä niiden soveltuvuus voidaan arvioida muiden kriteerien perusteella.

Noetherin teoreemasta on olemassa monia versoita, joiden yleisyyden aste vaihtelee. Alkuperäinen versio koski vain tavallisia differentiaaliyhtälöitä (hiukkasia), ei osittaisdifferentiaaliyhtälöitä (kenttiä). Alkuperäisissä versioissa oletetaan myös, että Lagrangen funktio riippuu vain ensimmäisestä derivaatasta, kun taas myöhemmissä versioissa teoreema on yleistetty sellaisiinkin Lagrangen funktioihin, jotka riippuvat n:nnestä derivaatasta. Teoreemalle on olemassa luonnollisia kvantti­teoreettisia vastineita, jotka ilmaisee Ward-Takahashin identiteetti. On olemassa myös Noetherin teoreeman yleistyksiä super­avaruuteen.

Teoreeman epämuodollinen ilmaisu

Jättäen tekniset hienoudet sivuun Noetherin teoreema voidaan ilmaista epämuodollisesti.

Teoreeman täsmällisempi, kenttiin perustuva versio kuuluu:

Tässä sana "symmetria" viittaa täsmällisemmin sanottuna sen muodon kovarianssiin, jonka fysikaalinen laki saa tietyt tekniset kriteerit täyttävien muunnosten muodostamassa yksiulotteisessa Lien ryhmässä. Fysikaalisten suureiden säilymislait ilmaistaan tavallisesti jatkuvina yhtälöinä.

Teoreeman muodollisessa todistuksessa invarianssi­ehtoja käytetään lausekkeen muodostamiseksi virtaukselle, joka liittyy säilyvään fysikaaliseen suureeseen. Viime aikoina, suunnilleen vuodesta 1980 lähtien Termi "Noetherin varaus" esiintyy Seligmanin teoksessa Group theory and its applications in physics, 1980: Latin American School of Physics, Mexico City, American Institute of Physics, 1981. Se tuli yleisempään käyttöön 1980-luvulla, esimerkiksi G. Takedan arikkelissa Errol Gotsmanin ja Gerald Tauberin toimittamassa teoksessa From SU(3) to Gravity: Festschrift in Honor of Yuval Ne'eman, 1985, s. 196. on tullut tavaksi nimittää säilyvää suuretta "Noetherin varaukseksi" ja sitä kuljettavaa virtausta "Noetherin virraksi". Noetherin virta määritellään solenoidiseksi vektorikentäksi, jonka divergenssi on 0.

Gravitaation tapauksessa Felix Klein on ilmaissut Noetherin teoreeman aktiolle I invarianttien avulla seuraavasti: Nina Byers (1998) "E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws." Bar-Ilanin yliopistossa Israelissa 2.–4.12.1996 Emmi Noetherin muistoksi järjestetyssä symposiumissa pidetty esitelmä, liite B

Historiallinen tausta

Fysikaaliset säilymis­lait sanovat, että systeemin kehityksen matemaattisessa kuvauksessa jokin suure X pysyy vakiona ajan kuluessa eli se on invariantti. Matemaattisesti X:n muutos­nopeus eli sen derivaatta ajan suhteen on nolla:

Sellaisten suureiden sanotaan säilyvän. Niitä sanotaan usein liikevakioiksi, vaikka ne eivät välttämättä liity liikkeeseen vaan voivat muullakin tavoin kuvata systeemin kehitystä ajan kuluessa. Esimerkiksi jos jonkin systeemin energia säilyy, sen energia on koko ajan yhtä suuri, mikä asettaa rajoituksia systeemin liikkeelle, ja tätä voidaan käyttää hyväksi systeemin kehitystä ennustettaessa. Sen lisäksi, millaisen näkemyksen tällaiset liike­vakiot antavat systeemin luonteesta, ne ovat hyödyllisiä laskennallisia apu­välineitä; esi­merkiksi liki­määräinen ratkaisu voidaan korjata löytämällä lähin tila, joka toteuttaa asiaan kuuluvat säilymislait.

Ensimmäiset tunnetut liikevakiot olivat liikemäärä ja energia, joita ehdottivat sellaisiksi 1600-luvulla törmäyskokeiden perusteella René Descartes ja Gottfried Leibniz ja joiden säilymisen ovat myöhemmät tutkijat vahvistaneet. Isaac Newton oli ensimmäinen, joka esitti liikemäärän säilymislain nykyisessä muodossa ja osoitti, että se on seuraus Newtonin kolmannesta laista eli voiman ja vasta­voiman laista. Yleisen suhteellisuus­teorian mukaan liikemäärän, energian ja liike­määrä­momentin säilymis­lait pitävät tarkkaan ottaen paikkansa vain, jos ne ilmaistaan jännitys-energia-tensorin (gravitaatioon liittymätön jännitys ja energia) sekä jännitys-energia-liikemäärä-pseudotensorin (gravitaatioon liittyvä jännitys-energia) avulla. Sen, että gravitaatioon liittymätön liike­määrä ja energia säilyvät vapaasti putoavassa vertailu­järjestelmässä, ilmaisee se seikka, että jännitys-energia-tensorin kovariantti divergenssi on nolla. Taivaan­mekaniikassa tärkeisiin säilyviin suureisiin kuuluu myös Laplacen-Rungen-Lenzin vektori.

Fyysikot kehittivät 1700-luvun lopulla ja 1800-luvun alussa järjestelmällisempiä keinoja invarianttien löytämiseksi. Suurta edistys­askelta merkitsi vuonna 1788 kehitetty Lagrangen mekaniikka, joka liittyy vähimmän vaikutuksen peri­aatteseen. Tässä lähestymis­tavassa systeemin tilaa voidaan kuvata millä tahansa yleisetyillä koordinaateilla q: liikelakeja ei tällöin tarvitse välttämättä esittää karteesi­silla koordi­naateilla, kuten Newtonin mekaniikassa oli tapana. Aktio eli vaikutus määritellään Lagrangen funktion L integraalina ajan suhteen

missä pilkku q:n yläpuolella merkitsee koordinaattien q muutosnopeutta ajan suhteen.

Hamiltonin periaate ilmoittaa, että systeemin todellinen liikerata q(t) on sellainen, että radan infinitesimaaliset muutokset eivät aiheuta muutosta aktioon I, ainakaan ensimmäisessä kerta­luvussa. Tämä periaate seuraa Eulerin-Lagrangen yhtälöistä,

Jos siis yksi koordinaateista, esimerkiksi qk, ei esiinny Lagrangen funktiossa, yhtälön oikea puoli on nolla ja vasemman puolen on oltava

missä liikemäärä

säilyy koko liikkeen ajan.

Jos siis koordinaatti qk voidaan pitää merki­tyksettö­mänä ja se puuttuu Lagrangen funktiosta, viimeksi mainittuun ei vaikuta qk:n muutokset. Lagrangen funktio on tällöin invariantti ja sillä sanotaan olevan fysikaalinen symmetria sellaisissa muutoksissa. Noetherin teoreema sai alkunsa tämän ajatuksen yleistyksenä.

Vaihtoehtoisia menetelmiä säilyvien suureiden löytämiseksi kehitti 1800-luvulla varsinkin William Rowan Hamilton. Hän kehitti esimerkiksi kanonisten muunnosten teorian, joka teki mahdolliseksi muuttaa koordinaatistoa siten, että jokin koordinaatti hävisi Lagrangen funktiosta, mistä edellisen mukaan seuraa kanonisen liikemäärän säilyminen. Toinen, mahdollisesti tehokkain tapa säilyvien suureiden löytämiseksi perustuu Hamiltonin-Jacobin-yhtälöön.

Matemaattinen muotoilu

Yksinkertaisin muoto häiriöiden avulla

Noetherin teoreema on perusidealtaan edellä kuvatun mitättömän pienten koordinaattien poisjättämisen yleistys.

Oletetaan, että edellä määritelty aktio I on invariantti aikamuuttujan pienissä häiriöissä (käyristymisissä ja yleistetyt koordinaatit q fysiikassa yleisesti käytetyillä merkintätavoilla,

missä häiriöt dt and dq ovat molemmat pieniä mutta muuttuvia. Yleisemmin oletetaan, että aktiolla on vaikkapa N sellaista symmetria­muunnosta, toisin sanoen muunnosta, jotka jättävät aktion ennalleen, ja käytetään niille indeksiä r = 1, 2, 3, …, N.

Tällöin häiriöiden yhteis­vaikutus voidaan kirjoittaa kaikkien eri­tyyppisten häiriöiden lineaarisena summana,

missä er ovat infinitesimaalisia parametrisia kertoimia, joista generaattori Tr vastaa ajallista kehitystä generaattori Qr yleistettyjä koordinaatteja.

Yhden­suuntais­siirtojen tapauksessa Qr on pituuden yksiköissä ilmaistava vakio, rotaatioiden tapauksessa lineaarinen, q:n komponenttien avulla ilmaistava lauseke, ja parametrit muodostavat kulman.

Näiden määritelmien avulla Noether osoitti, että nämä N suuretta

säilyvät eli ovat liikevakioita. Niiden dimensiot ovat [energia]·[aika] + [liikemäärä]·[pituus] = [aktio]].

Esimerkkejä

Aikainvarianssi

Esimerkkinä käsitellään Lagrangen funktiota, joka ei riipu ajasta, toisin sanoen se on invariantti (symmetrinen) muunnoksissa t → t + dt, kun koordinaatit q eivät muutu. Tässä tapauksessa N = 1, T = 1 and Q = 0; vastaava säilyvä suure on kokonaisenergia H

Siirtoinvarianssi

Tarkastellaan Lagrangen funktiota, joka ei riipu (edellä mainitulla tavalla merkityksettömästä) koordinaatista qk; toisin sanoen se in invariantti (symmetrinen) muunnoksissa qk → qk + dqk. Tässä tapauksessa N = 1, T = 0, and Qk = 1; säilyvä suure on vastaava liikemäärä pkLanczos, s. 403–404

Erityisessä ja yleisessä suhteellisuus­teoriassa nämä näennäisesti erilliset säilymis­lait ovat saman lain, jännitys-energia-tensorin säilymis­lain, eri ilmenemis­muotoja, Tämä laki johdetaan jäljempänä.

Rotaatioinvarianssi

Liikemäärämonentin L = r × p säilymislaki on analoginen liike­määrän säilymis­laille.Lanczos, s. 404-405 Oletetaan, että systeemin Lagrangen funktio on symmetrinen rotaatioiden suhteen, toisin sanoen se ei riipu fysikaalisen systeemin absoluuttisesta suuntautumisesta avaruudessa. Oletetaan, että Lagrangen funktio ei muutu akselin pienissä n kulman δθ suuruisissa rotaatioissa. Tällaisissa rotaatioissa karteesiset koordinaatit muuntuvat yhtälön

mukaisesti. Koska aika ei tässä muutu, on T=0. Pidetään kulmaa δθ parametrina ε ja karteesisia koordinaatteja r yleistettyinä koordinaatteina q; tällöin vastaavat muuttujat Q saadaan lausekkeella

Tällöin Noetherin teoreeman mukaan seuraava suure säilyy:

Toisin sanoen liikemäärämomentin L akselin n suuntainen komponentti säilyy.

Jos n on mieli­valtainen, eli systeemiin eivät vaikuta mitkään rotaatiot, L:n kaikki komponentit säilyvät, eli lyhyesti sanottuna liikemäärämomentti säilyy.

Kenttäteoreettinen versio