Tilavuusintegraali eli avaruusintegraali on kolmiulotteisessa avaruudessa tai jossakin sen alueessa määritellyn funktion integraali. Se määritellään vastaavalla tavalla kuin pintaintegraali tasossa.
Määritelmä
Avaruusintegraali määritellään ensin sellaiselle suorakulmaiselle särmiölle, jonka särmät ovat koordinaattiakselien suuntaisia. Tällainen särmiö voidaan esittää kolmen välin karteesisena tulona Jos funktio f on määritelty tässä särmiössä, sen avaruusintegraali on
Jos on mielivaltainen rajoitettu joukko ja f siinä määritelty rajoitettu funktio, sen avaruusintegraali tämän joukon yli määritellään seuraavasti:
Valitaan suorakulmainen särmiö siten, että D sisältyy A:hen eli . Muodostetaan koko avaruudessa määritelty funktio fD siten, että , kun , ja , kun
Nyt määritellään, että
.
Helposti voidaan osoittaa, että määritelmä on riippumaton suorakulmaisen särmiön A valinnasta, kunhan D kokonaan sisältyy siihen.
Jos alue D ei ole rajoitettu, voidaan määritellä:
, kun ,
mikäli tämä raja-arvo on olemassa. Funktion tilavuusintegraali tällaisen alueen yli voi olla myös ääretön.
Tilavuusmitta
Joukon D karakteristinen funktio määritellään funktiona χD, jonka arvo on , kun , ja , kun ,
Rajoitetun joukon D tilavuusmitta määritellään sen karakteristisen funktion tilavuusintegraalina kyseisen joukon yli:
,
mikäli karakteristinen funktio on integroituva.
Koska &chiD saa arvon 0 kaikkialla alueen D ulkopuolella, voidaan alue D, jonka yli funktio χ</sub>D</sub> korvata millä tahansa laajemmalla alueella A, johon D sisältyy (eli ), toisin sanoen tilavuusmitan lauseke voidaan esittää myös muodossa:
.
Toisaalta koska karakteristinen funktio saa alueen D jokaisessa pisteessä vakioarvon 1, voidaan tilavuusintegraalin määrittää myös integroimalla vakiofunktio 1 alueen D yli:
Tilavuusintegraali pallo- ja sylinterikoordinaatistossa
Suorakulmaisten koordinaattien ohella voidaan pisteen sijainti avaruudessa ilmoittaa myös pallo- tai sylinterikoordinaateissa. Avaruusintegraalin arvo näitä koordinaatteja käytettäessä saadaan lasketuksi Jacobin determinantin avulla.
Olkoot avoimia, ja kompakteja, ja nollajoukkoja sekä bijektiivinen -kuvaus, . Jos on jatkuva, niin
,
missä on kuvauksen jacobiaani eli Jacobin determinantti
,
ja ovat :n koordinaattifunktiot.
Kuvaukselle , , missä
saadaan Jacobin determinantiksi , kun sijoitetaan pallokoordinaattien osittaisderivaatat Jacobin determinantin kaavaan. Tästä saadaan funktion f avaruusintegraalille lauseke:
Sylinterikoordinaatistossa vastaavanlaisella periaatteella saadaan koordinaateista
Jacobin determinantiksi ja tästä funktion f avaruusintegraalille lauseke
Esimerkki Lasketaan :n R-säteisen pallon tilavuus integraalilla pallokoordinaatteihin sijoituksella:
Katso myös Pintaintegraali
Lähteet
Luokka:Integraalilaskenta